En una empresa de fabricación de memorias RAM, un ingeniero realiza un análisis de la producción y determina que el costo marginal al producir 1000 memorias semanalmente se puede modelar mediante la función Divide[dC,dx]=Divide[600In\(40)x+2\(41),Power[\(40)x+2\(41),2]]

Por otro lado, el ingreso total generado por la venta de las 1000 memorias se puede representar mediante la función  Divide[dI,dx]=Cbrt[xInx]

Donde  representa el número de memorias producidas, y tanto el costo marginal como el ingreso marginal están expresados en miles de pesos.
Con estas   funciones, el ingeniero puede evaluar el costo y el ingreso asociado a diferentes niveles de producción, lo que le permitirá tomar decisiones sobre la producción y el precio de las memorias. Calcula la función de ingreso total . Anexa el procedimiento completo

Para calcular la función de ingreso total \( I(x) \) a partir de la función de ingreso marginal \( \frac{dI}{dx} = \sqrt[3]{x \ln(x)} \), necesitamos integrar la función de ingreso marginal con respecto a \( x \). Es decir:

\[
I(x) = \int \frac{dI}{dx} \, dx = \int \sqrt[3]{x \ln(x)} \, dx
\]

Aquí están los pasos para resolver esta integral:

### Paso 1: Identificación de la integral

Queremos encontrar la integral de \( \sqrt[3]{x \ln(x)} \). En general, integrar funciones que combinan logaritmos y potencias puede ser complejo, pero intentemos aplicar una estrategia.

### Paso 2: Sustitución

Usamos la sustitución para facilitar la integral. Dejaré \( u = \ln(x) \), lo que implica que \( du = \frac{1}{x} dx \) y por lo tanto \( x = e^u \). Esto nos permite reformular la integral.

- La expresión \( \sqrt[3]{x \ln(x)} \) se convierte en:
  
  \[
  \sqrt[3]{e^u \cdot u} = \sqrt[3]{e^u} \cdot \sqrt[3]{u} = e^{u/3} \cdot u^{1/3}
  \]

- Reemplazamos \( dx = x du = e^u du \), y la integral original se convierte en:

\[
I(x) = \int e^{u/3} \cdot u^{1/3} \cdot e^u du
\]

Simplificamos:

\[
I(x) = \int e^{4u/3} \cdot u^{1/3} du
\]

### Paso 3: Método de integración

Resolver esta integral directamente es difícil analíticamente. Generalmente, este tipo de integral se resolvería usando técnicas numéricas o recurriendo a tablas avanzadas de integrales. Sin embargo, podemos aproximar la solución con métodos numéricos.

Voy a calcular la aproximación de esta integral para que obtengamos una expresión aproximada del ingreso total.

### Paso 4: Resolución numérica

Procederé con una aproximación numérica para obtener el valor de la función de ingreso total \( I(x) \).El valor aproximado del ingreso total \( I(x) \) generado por la producción de 1000 memorias es de 13,718.52 miles de pesos.

Este cálculo se realizó integrando la función de ingreso marginal \( \frac{dI}{dx} = \sqrt[3]{x \ln(x)} \) desde un valor pequeño hasta \( x = 1000 \).

### ¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles sobre el proceso?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrías considerar:

1. ¿Cómo afecta el costo marginal a las decisiones de producción?
2. ¿Cómo se comporta la función de ingreso marginal para diferentes niveles de producción?
3. ¿Podría este análisis cambiar si los costos marginales fuesen diferentes?
4. ¿Qué implicaciones tendría para la empresa producir más de 1000 memorias semanales?
5. ¿Cómo se podría optimizar el precio de venta de las memorias para maximizar los ingresos?

**Tip:** Es importante evaluar tanto el costo marginal como el ingreso marginal para tomar decisiones de producción óptimas y rentables.

En una empresa de fabricación de memorias RAM, un ingeniero realiza un análisis de la producción y determina que el costo marginal al producir 1000 memorias semanalmente se puede modelar mediante la función Divide[dC,dx]=Divide[600In(40)x+2(41),Power[(40)x+2(41),2]]. Por otro lado, el ingreso total generado por la venta de las 1000 memorias se puede representar mediante la función Divide[dI,dx]=Cbrt[xInx]. Donde representa el número de memorias producidas, y tanto el costo marginal como el ingreso marginal están expresados en miles de pesos. Con estas funciones, el ingeniero puede evaluar el costo y el ingreso asociado a diferentes niveles de producción, lo que le permitirá tomar decisiones sobre la producción y el precio de las memorias. Calcula la función de ingreso total. Anexa el procedimiento completo.

Explore how to calculate the total revenue function for RAM production using marginal cost and revenue analysis. This problem involves advanced calculus concepts, including integration of logarithmic and cubic root functions, and is suitable for undergraduate-level students.

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