La derivada de una función \( f(x) \) en un punto \( x = a \) puede definirse como el límite del cociente diferencial cuando el incremento en \( x \) tiende a cero. Este concepto es conocido como la **derivada por definición**.

Matemáticamente, la derivada de \( f(x) \) en \( x = a \) se expresa como:

\[
f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
\]

Donde:
- \( f'(a) \) es la derivada de la función en el punto \( a \).
- \( h \) es un incremento pequeño en \( x \).

### Pasos para calcular la derivada por definición:
1. **Incremento**: Considera un pequeño incremento \( h \) en el valor de \( x \).
2. **Función desplazada**: Evalúa la función en el punto desplazado, \( f(a + h) \).
3. **Cociente diferencial**: Calcula el cociente diferencial \( \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \).
4. **Límite**: Toma el límite de este cociente cuando \( h \) tiende a cero.

### Ejemplo:
Supongamos que \( f(x) = x^2 \). Queremos encontrar la derivada en \( x = 2 \) usando la definición.

1. \( f(x) = x^2 \), entonces \( f(a) = f(2) = 4 \).
2. \( f(a + h) = (2 + h)^2 = 4 + 4h + h^2 \).
3. El cociente diferencial es \( \frac{(4 + 4h + h^2) - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \).
4. Al tomar el límite cuando \( h \to 0 \), obtenemos \( 4 + h \to 4 \).

Por lo tanto, \( f'(2) = 4 \).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la derivada por definición a una función lineal?
2. ¿Qué sucede si la función no es diferenciable en un punto?
3. ¿Cómo afecta la continuidad de la función a la derivada?
4. ¿Qué diferencias hay entre la derivada por definición y otras técnicas de derivación?
5. ¿Cómo se puede interpretar geométricamente la derivada por definición?

### Tip:
La derivada de una función en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto.

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