Diagonalizar la matriz A=(a11 a12 a21 a22) de 2*2 con autovalores x e y y autovector de x =(a22-x ;  -a21) de 2*1  de y= (a22-y; -a21)

Para diagonalizar la matriz \( A \) de \( 2 \times 2 \), dada por:

\[
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\]

y con autovalores \( \lambda_1 = x \) y \( \lambda_2 = y \), además de los correspondientes autovectores \(\mathbf{v}_1\) y \(\mathbf{v}_2\) dados como:

\[
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}
a_{22} - x \\
-a_{21}
\end{pmatrix}
\quad \text{y} \quad 
\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}
a_{22} - y \\
-a_{21}
\end{pmatrix}
\]

### Paso 1: Matriz de autovectores (P)
Formamos la matriz \( P \) utilizando los autovectores \(\mathbf{v}_1\) y \(\mathbf{v}_2\) como columnas:

\[
P = \begin{pmatrix}
a_{22} - x & a_{22} - y \\
-a_{21} & -a_{21}
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Matriz diagonal (D)
La matriz diagonal \( D \) tendrá los autovalores \( x \) y \( y \) en la diagonal principal:

\[
D = \begin{pmatrix}
x & 0 \\
0 & y
\end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Verificación de la diagonalización
Para verificar que \( A \) es diagonalizable mediante \( P \) y \( D \), necesitamos comprobar que:

\[
A = P D P^{-1}
\]

Aquí, \( P^{-1} \) es la inversa de \( P \).

### Cálculo de \( P^{-1} \)
Primero, calculemos el determinante de \( P \):

\[
\det(P) = (a_{22} - x)(-a_{21}) - (a_{22} - y)(-a_{21}) = -a_{21}[(a_{22} - x) - (a_{22} - y)] = -a_{21}(y - x)
\]

La inversa de \( P \) se calcula como:

\[
P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix}
-a_{21} & -(a_{22} - y) \\
a_{21} & a_{22} - x
\end{pmatrix}
= \frac{1}{-a_{21}(y - x)} \begin{pmatrix}
-a_{21} & -(a_{22} - y) \\
a_{21} & a_{22} - x
\end{pmatrix}
\]

\[
P^{-1} = \frac{1}{a_{21}(x - y)} \begin{pmatrix}
a_{21} & (a_{22} - y) \\
-a_{21} & -(a_{22} - x)
\end{pmatrix}
\]

### Paso 4: Expresión final
Finalmente, podemos expresar la matriz \( A \) diagonalizada como:

\[
A = P D P^{-1}
\]

Donde:

\[
P = \begin{pmatrix}
a_{22} - x & a_{22} - y \\
-a_{21} & -a_{21}
\end{pmatrix}
, \quad 
D = \begin{pmatrix}
x & 0 \\
0 & y
\end{pmatrix}
, \quad
P^{-1} = \frac{1}{a_{21}(x - y)} \begin{pmatrix}
a_{21} & (a_{22} - y) \\
-a_{21} & -(a_{22} - x)
\end{pmatrix}
\]

Esto completa la diagonalización de la matriz \( A \).

¿Deseas más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para explorar:

1. ¿Qué condiciones debe cumplir una matriz para ser diagonalizable?
2. ¿Qué sucede si los autovalores son iguales (es decir, \( x = y \))?
3. ¿Cómo se calcula la inversa de una matriz \( 2 \times 2 \)?
4. ¿Cuáles son las ventajas de diagonalizar una matriz?
5. ¿Cómo se interpretan geométricamente los autovalores y autovectores?

**Tip:** Asegúrate de que los autovalores sean distintos para que la matriz sea diagonalizable con autovectores linealmente independientes.

Aprende a diagonalizar la matriz A de 2x2 con autovalores x e y y autovectores v1 y v2. Incluye una explicación detallada paso a paso con fórmulas y ejemplos prácticos.

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