 La suma de las medidas de k ángulos 
internos consecutivos de un polígono 
convexo es S. Halle la suma de las 
medidas de los ángulos externos 
correspondientes a los vértices restantes.

Para resolver este problema, consideremos un polígono convexo con \( n \) lados y ángulos.

1. **Suma de los ángulos internos**: La suma de los ángulos internos de un polígono convexo de \( n \) lados es \( 180^\circ(n-2) \).

2. **Suma de \( k \) ángulos internos consecutivos**: Según el problema, la suma de \( k \) ángulos internos consecutivos es \( S \).

3. **Suma de los ángulos internos restantes**: Si \( S \) es la suma de \( k \) ángulos internos consecutivos, entonces la suma de los ángulos internos restantes (los otros \( n-k \) ángulos) será:
   \[
   180^\circ(n-2) - S
   \]

4. **Ángulos externos correspondientes**: Cada ángulo externo correspondiente a un ángulo interno \( \theta_i \) en un polígono es igual a \( 180^\circ - \theta_i \). Por lo tanto, la suma de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes será igual a la suma de los \( n-k \) ángulos externos correspondientes.

La suma de estos ángulos externos es igual a la suma de \( n-k \) veces \( 180^\circ \) menos la suma de los ángulos internos restantes:
   \[
   \text{Suma de los ángulos externos} = 180^\circ(n-k) - \left[180^\circ(n-2) - S\right]
   \]

   Simplificando la expresión:
   \[
   = 180^\circ(n-k) - 180^\circ(n-2) + S
   = 180^\circ n - 180^\circ k - 180^\circ n + 360^\circ + S
   = 360^\circ - 180^\circ k + S
   \]

Por lo tanto, la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes es:
\[
\boxed{360^\circ - 180^\circ k + S}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la suma de los ángulos externos de un polígono convexo?
2. ¿Qué relación existe entre los ángulos internos y externos de un polígono convexo?
3. ¿Cómo varía la suma de ángulos internos con el número de lados del polígono?
4. ¿Qué sucede con la suma de ángulos externos si \( k \) aumenta?
5. ¿Podemos aplicar este método a cualquier polígono, independientemente de su forma?

**Tip**: La suma de los ángulos externos de cualquier polígono convexo siempre es \( 360^\circ \), independientemente del número de lados.

Learn how to find the sum of external angles corresponding to the remaining vertices of a convex polygon when the sum of consecutive internal angles is given. This problem involves applying the formula for the sum of interior angles of a polygon and understanding the relationship between interior and exterior angles. Suitable for Grades 9-12.

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