Seja 
\[R\] a região delimitada pelo eixo 
\[y\], pela reta 
\[y=2\], pela reta 
\[y=3\] e pela curva 
\[y=\sqrt{x}\].Um sólido é gerado pela rotação de 
\[R\] ao redor do eixo 
\[y\].
Qual é o volume do sólido?
Dê uma resposta exata em função de 
\[\pi\].


Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região \( R \) ao redor do eixo \( y \), utilizamos o método das cascas cilíndricas. A fórmula para o volume \( V \) de um sólido de revolução ao redor do eixo \( y \) é dada por:

\[
V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot h(x) \, dx
\]

Aqui, \( h(x) \) é a altura da casca cilíndrica, que neste caso é \( h(x) = y_2 - y_1 \), onde \( y_2 = 3 \) e \( y_1 = 2 \). Portanto, \( h(x) = 3 - 2 = 1 \). No entanto, \( x \) em função de \( y \) é \( x = y^2 \), e os limites de integração são de \( y = 2 \) até \( y = 3 \).

Portanto, substituindo os valores, o volume \( V \) é dado por:

\[
V = 2\pi \int_{2}^{3} y \cdot y^2 \, dy
\]

Simplificando a integral:

\[
V = 2\pi \int_{2}^{3} y^3 \, dy
\]

Agora, vamos calcular a integral:

\[
\int y^3 \, dy = \frac{y^4}{4}
\]

Aplicando os limites de integração:

\[
V = 2\pi \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{2}^{3} = 2\pi \left( \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} \right)
\]

Simplificando:

\[
V = 2\pi \left( \frac{81}{4} - \frac{16}{4} \right) = 2\pi \cdot \frac{65}{4} = \frac{65\pi}{2}
\]

Portanto, o volume exato do sólido é:

\[
V = \frac{65\pi}{2}
\]

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

### Perguntas Relacionadas:
1. Como o método das cascas cilíndricas se aplica a outras formas de rotação?
2. Como o resultado mudaria se a rotação fosse ao redor do eixo \( x \)?
3. Como encontraríamos o volume se a curva fosse \( y = x^2 \)?
4. Qual é a interpretação geométrica de \( V = \frac{65\pi}{2} \)?
5. Como o volume mudaria se a região \( R \) fosse rotacionada ao redor de uma linha fora dos eixos, como \( y = 4 \)?
6. Como o cálculo do volume mudaria se os limites de integração fossem diferentes?
7. Como esse método se aplica ao cálculo de áreas ao invés de volumes?
8. Quais são as limitações do método das cascas cilíndricas?

### Dica:
Lembre-se de que, no método das cascas cilíndricas, o volume é obtido pela soma das áreas laterais das cascas ao longo da região de integração, multiplicada pela distância ao eixo de rotação.

Learn how to calculate the volume of a solid of revolution generated by rotating region R around the y-axis. Detailed step-by-step solution provided, exact volume in terms of pi, integral calculus applied. Suitable for college-level mathematics.

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