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Pour résoudre cet exercice, analysons chaque question une par une.

### Famille de vecteurs:
\[ v_1 = (1, 1, 0, 1), \quad v_2 = (-1, 1, 1, 0), \quad v_3 = (0, -1, 1, 1), \quad v_4 = (-1, 0, -3, -2) \]

1. **Sous-ensemble libre**:
   La famille \( \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \) est libre si la seule solution de l'équation suivante est la solution triviale \( \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 0 \) :
   \[
   \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 + \lambda_4 v_4 = 0
   \]
   On doit résoudre le système linéaire correspondant. En formant la matrice des coefficients et en la mettant sous forme échelonnée réduite, nous déterminerons si ces vecteurs sont linéairement indépendants.

2. **Sous-espace vectoriel \( G \)**:
   Le sous-espace vectoriel \( G \) est engendré par cette famille de vecteurs. La dimension de \( G \) est le rang de la matrice formée par ces vecteurs.

3. **Combinaison linéaire réduite**:
   Trouver une base du sous-espace \( G \) consiste à réduire la matrice à sa forme échelonnée et à identifier les vecteurs non nuls qui composent la base.

4. **Équation cartésienne de \( G \)**:
   L'équation cartésienne est trouvée en exprimant les relations linéaires entre les colonnes de la matrice. Cela nécessite de résoudre le système homogène et d'exprimer certaines variables en fonction d'autres.

5. **Dimension d'un sous-espace vectoriel supplémentaire**:
   La dimension de l'espace supplémentaire est donnée par la différence entre la dimension de l'espace ambiant (ici, \(\mathbb{R}^4\)) et la dimension du sous-espace \( G \).

6. **Exemple de base d'un sous-espace vectoriel supplémentaire**:
   Pour trouver une base d'un sous-espace supplémentaire, on peut compléter la base de \( G \) à une base de \(\mathbb{R}^4\).

---

**Étapes de calcul**:

1. **Vérifions si la famille est libre**:
   Formons la matrice \( A \) associée :
   \[
   A = \begin{pmatrix}
   1 & -1 & 0 & -1 \\
   1 & 1 & -1 & 0 \\
   0 & 1 & 1 & -3 \\
   1 & 0 & 1 & -2
   \end{pmatrix}
   \]
   Puis, mettons cette matrice en forme échelonnée.

2. **Calcul de la dimension de \( G \)**:
   La dimension de \( G \) est le nombre de lignes non nulles après réduction de \( A \).

3. **Base du sous-espace**:
   Les colonnes correspondant aux pivots dans la forme échelonnée sont les vecteurs de base de \( G \).

4. **Équations cartésiennes**:
   Après réduction, exprimer les équations qui définissent \( G \).

5. **Sous-espace supplémentaire**:
   La dimension est \( 4 - \text{dim}(G) \), et les vecteurs non compris dans la base de \( G \) seront la base du sous-espace supplémentaire.

Je vais maintenant procéder aux calculs.

### **1. Réduction de la matrice \( A \)**
Effectuons la réduction de Gauss pour \( A \):

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -3 \\
1 & 0 & 1 & -2
\end{pmatrix}
\]

Je vais effectuer la réduction.

**Suite des calculs**:

1. **Première opération**: Soustraction de la première ligne des deuxième et quatrième lignes :
   \[
   A' = \begin{pmatrix}
   1 & -1 & 0 & -1 \\
   0 & 2 & -1 & 1 \\
   0 & 1 & 1 & -3 \\
   0 & 1 & 1 & -1
   \end{pmatrix}
   \]
2. **Deuxième opération**: Soustraction de la deuxième ligne des troisième et quatrième lignes:
   \[
   A'' = \begin{pmatrix}
   1 & -1 & 0 & -1 \\
   0 & 2 & -1 & 1 \\
   0 & 0 & 3/2 & -7/2 \\
   0 & 0 & 0 & 2
   \end{pmatrix}
   \]

3. **Forme échelonnée**:
   La matrice est maintenant sous forme échelonnée. Le rang est donc 4, ce qui signifie que les vecteurs sont **linéairement indépendants** et la dimension de \( G \) est 4.

**Conclusion**:
- La famille est libre, donc \( G \) a une dimension de 4.
- Il n'y a pas de sous-espace supplémentaire, car \( G = \mathbb{R}^4 \).
- La base de \( G \) est formée par les vecteurs originaux.

Est-ce que vous souhaitez des détails supplémentaires sur un des points ci-dessus ou avez-vous des questions spécifiques?

### Questions supplémentaires:
1. Comment trouve-t-on l'équation cartésienne d'un sous-espace vectoriel?
2. Pourquoi la réduction de Gauss est-elle utile pour déterminer l'indépendance linéaire?
3. Comment déterminer la base d'un sous-espace vectoriel?
4. Qu'est-ce qu'un sous-espace vectoriel supplémentaire?
5. Quelles sont les méthodes alternatives pour vérifier si une famille de vecteurs est libre?

**Astuce**: Utilisez la méthode de réduction par les lignes (Gauss-Jordan) pour trouver rapidement la base d'un sous-espace vectoriel et la dimension associée.

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