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resuelve el ejercicio descrito en la imagen en un lenguaje legible y entendible para mi, pero que tambien pueda ser copiable sin perder el formato matematico a word por favor

Voy a resolver el ejercicio descrito en la imagen de manera clara y comprensible, manteniendo el formato matemático para que puedas copiarlo a Word sin perder la estructura.

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### Ejercicio 1.13

La distribución de velocidad para flujo laminar entre placas paralelas está dada por:

\[
v = v_{\text{max}} \left[ 1 - \left( \frac{2y}{h} \right)^2 \right]
\]

donde \(h\) es la distancia que separa las placas y el origen se ubica en el punto medio entre las mismas. Considera un flujo de agua a 15°C, con \(v_{\text{max}} = 0.30\) m/s y \(h = 0.60\) mm. Calcula el esfuerzo de corte en la placa superior a mitad de su distancia.

### Solución:

Primero, notemos que el esfuerzo de corte \(\tau\) se relaciona con la viscosidad dinámica \(\mu\) y el gradiente de velocidad \(\frac{dv}{dy}\) según la ley de viscosidad de Newton:

\[
\tau = \mu \cdot \frac{dv}{dy}
\]

Dado que la ecuación de velocidad está dada por:

\[
v = v_{\text{max}} \left[ 1 - \left( \frac{2y}{h} \right)^2 \right]
\]

Tomemos la derivada de \(v\) con respecto a \(y\):

\[
\frac{dv}{dy} = v_{\text{max}} \cdot \frac{d}{dy} \left[ 1 - \left( \frac{2y}{h} \right)^2 \right]
\]

\[
\frac{dv}{dy} = v_{\text{max}} \cdot \left[-2 \cdot \frac{2y}{h} \cdot \frac{2}{h}\right] = -\frac{8v_{\text{max}}y}{h^2}
\]

En la placa superior, que está a una distancia \(y = \frac{h}{2}\) del punto medio:

\[
\frac{dv}{dy} \bigg|_{y = \frac{h}{2}} = -\frac{8v_{\text{max}} \cdot \frac{h}{2}}{h^2} = -\frac{4v_{\text{max}}}{h}
\]

Sustituyendo \(v_{\text{max}} = 0.30\) m/s y \(h = 0.60 \times 10^{-3}\) m:

\[
\frac{dv}{dy} \bigg|_{y = \frac{h}{2}} = -\frac{4 \times 0.30 \text{ m/s}}{0.60 \times 10^{-3} \text{ m}} = -2000 \text{ s}^{-1}
\]

Finalmente, para calcular el esfuerzo de corte \(\tau\) necesitamos conocer la viscosidad dinámica \(\mu\) del agua a 15°C. Para este cálculo, asumimos que \(\mu = 1.14 \times 10^{-3}\) Pa·s:

\[
\text{Esfuerzo de corte} \, \tau = \mu \cdot \frac{dv}{dy} = (1.14 \times 10^{-3} \text{ Pa·s}) \times (-2000 \text{ s}^{-1}) = -2.28 \text{ Pa}
\]

El signo negativo indica la dirección del esfuerzo de corte. Por lo tanto, el valor del esfuerzo de corte en la placa superior es **2.28 Pa**.

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¿Tienes alguna pregunta o necesitas más detalles?  
Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para expandir tu comprensión:

1. ¿Cómo se determina la viscosidad dinámica de un fluido a diferentes temperaturas?
2. ¿Qué diferencias existen entre flujo laminar y flujo turbulento en conductos?
3. ¿Cómo se afectan los esfuerzos de corte al cambiar la separación \(h\) entre placas?
4. ¿Qué aplicación práctica tiene este tipo de cálculo en la ingeniería?
5. ¿Por qué es importante conocer la distribución de velocidad en un flujo entre placas paralelas?

**Tip:** En problemas de dinámica de fluidos, verificar la consistencia de las unidades antes de realizar cálculos es crucial para evitar errores.

Learn how to calculate shear stress in laminar flow between parallel plates using fluid dynamics principles. This problem involves determining shear stress in a fluid flow scenario between parallel plates, considering specific fluid properties and conditions. Suitable for advanced engineering studies.

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