En una entidad financiera el capital depositado se duplica cada dos años. ¿Qué tasa de interés
efectiva trimestral paga dicha empresa? ¿En cuánto tiempo se convertirán $25.000 en $1.6000.000
a dicha tasa trimestral encontrada?

Para resolver este problema, abordaremos dos partes:

1. Determinaremos la tasa de interés efectiva trimestral que hace que el capital se duplique cada dos años.
2. Calcularemos cuánto tiempo tomará para que $25,000 se conviertan en $1,600,000 con la tasa trimestral encontrada.

### Parte 1: Tasa de Interés Efectiva Trimestral

Dado que el capital se duplica cada dos años, podemos usar la fórmula del interés compuesto para encontrar la tasa de interés efectiva trimestral:

\[
A = P(1 + r)^n
\]

Donde:
- $ A $ es el monto final,
- $ P $ es el capital inicial,
- $ r $ es la tasa de interés efectiva por periodo (en este caso, trimestral),
- $ n $ es el número de periodos.

En nuestro caso:
- $ A = 2P $ (el capital se duplica),
- El tiempo total es de 2 años, lo que equivale a 8 trimestres (ya que hay 4 trimestres en un año).

Entonces, la ecuación queda como:

\[
2P = P(1 + r)^8
\]

Dividiendo ambos lados por $ P $:

\[
2 = (1 + r)^8
\]

Para despejar $ r $, tomamos la raíz octava en ambos lados:

\[
1 + r = 2^{\frac{1}{8}}
\]

\[
r = 2^{\frac{1}{8}} - 1
\]

Ahora calculamos $ r $:

\[
r \approx 2^{0.125} - 1 \approx 1.090507732 - 1 \approx 0.090507732
\]

Esto significa que la tasa de interés efectiva trimestral es aproximadamente $ 0.0905 $, o 9.05%.

### Parte 2: Tiempo para convertir $25,000 en $1,600,000

Ahora, usaremos la tasa trimestral encontrada para calcular cuánto tiempo tomará para que $25,000 se conviertan en $1,600,000.

Utilizamos la fórmula de interés compuesto:

\[
A = P(1 + r)^n
\]

Donde:
- $ A = 1,600,000 $,
- $ P = 25,000 $,
- $ r = 0.0905 $.

Sustituyendo:

\[
1,600,000 = 25,000 (1 + 0.0905)^n
\]

\[
\frac{1,600,000}{25,000} = (1.0905)^n
\]

\[
64 = (1.0905)^n
\]

Tomamos logaritmo natural en ambos lados para despejar $ n $:

\[
\ln(64) = n \cdot \ln(1.0905)
\]

\[
n = \frac{\ln(64)}{\ln(1.0905)}
\]

\[
n \approx \frac{4.1588831}{0.086602}
\]

\[
n \approx 48.03
\]

Esto significa que tomará aproximadamente 48 trimestres (o 12 años) para que $25,000 se conviertan en $1,600,000 con una tasa de interés trimestral efectiva de 9.05%.

### Resumen

1. La tasa de interés efectiva trimestral es aproximadamente 9.05%.
2. Tomará aproximadamente 12 años (48 trimestres) para que $25,000 se conviertan en $1,600,000 a esta tasa de interés.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

1. ¿Qué sucede si la tasa de interés cambia a un valor diferente?
2. ¿Cómo influye la frecuencia de capitalización en el crecimiento del capital?
3. ¿Cuál sería el tiempo si el capital se triplicara en lugar de duplicarse?
4. ¿Cómo se calcula la tasa de interés efectiva anual a partir de la tasa trimestral encontrada?
5. ¿Qué fórmula se usaría si el capital creciera de forma continua?

**Tip:** La capitalización más frecuente (por ejemplo, trimestral en lugar de anual) generalmente resulta en un mayor rendimiento total debido al efecto del interés compuesto.

Learn how to calculate the quarterly effective interest rate and the time required for $25,000 to grow to $1,600,000. This problem involves compound interest and exponential growth concepts. Suitable for high school students.

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