Rubén le dice a miguel: "Tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tú tienes y, cuando tengas la edad que yo tengo, entonces yo tendré el doble de la edad que tú tenías hace 12 años". Determina la edad actual de cada uno y calcula la suma de estas

Para resolver el problema, sigamos un proceso sistemático:

### Paso 1: Definir las variables
- Sea \( R \) la edad actual de Rubén.
- Sea \( M \) la edad actual de Miguel.

### Paso 2: Plantear las ecuaciones según el problema
1. **Primera parte del problema**:  
   Rubén dice: "Tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tú tienes."

   Si Rubén tenía la mitad de la edad actual de Miguel, es decir, \( \frac{M}{2} \), la diferencia entre la edad actual de Rubén y esa edad es \( R - \frac{M}{2} \).

   En ese tiempo, la edad de Miguel era \( M - \left( R - \frac{M}{2} \right) = M - R + \frac{M}{2} = \frac{M}{2} - R + M \).

   Según el enunciado, Rubén tiene ahora el triple de esa edad:
   \[
   R = 3 \left( \frac{3M}{2} - R \right)
   \]
   Simplificando:
   \[
   R = \frac{9M}{2} - 3R
   \]
   \[
   4R = \frac{9M}{2} \quad \text{(Ecuación 1)}
   \]
   \[
   8R = 9M \quad \text{(Ecuación 1 simplificada)}
   \]

2. **Segunda parte del problema**:  
   "Cuando tengas la edad que yo tengo, entonces yo tendré el doble de la edad que tú tenías hace 12 años."

   Miguel alcanzará la edad de Rubén después de \( R - M \) años. En ese tiempo, Rubén tendrá \( R + (R - M) = 2R - M \) años.

   La edad de Miguel hace 12 años era \( M - 12 \). Según el enunciado:
   \[
   2R - M = 2(M - 12)
   \]
   Simplificando:
   \[
   2R - M = 2M - 24
   \]
   \[
   2R = 3M - 24 \quad \text{(Ecuación 2)}
   \]

### Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
8R = 9M \quad \text{(1)}
\]
\[
2R = 3M - 24 \quad \text{(2)}
\]

Podemos resolver \( M \) de la ecuación (2) y sustituir en la ecuación (1):

De la ecuación (2):
\[
2R = 3M - 24
\]
\[
M = \frac{2R + 24}{3}
\]

Sustituimos \( M \) en la ecuación (1):
\[
8R = 9\left(\frac{2R + 24}{3}\right)
\]
Simplificando:
\[
8R = 6R + 72
\]
\[
2R = 72
\]
\[
R = 36
\]

Ahora sustituimos \( R \) en \( M = \frac{2R + 24}{3} \):
\[
M = \frac{2(36) + 24}{3} = \frac{72 + 24}{3} = \frac{96}{3} = 32
\]

### Paso 4: Interpretación de la solución
- La edad actual de Rubén es \( R = 36 \) años.
- La edad actual de Miguel es \( M = 32 \) años.

### Paso 5: Suma de las edades
La suma de las edades actuales es:
\[
36 + 32 = 68 \text{ años}
\]

### Verificación
1. Rubén tiene 36 años, y cuando tenía la mitad de la edad actual de Miguel (16 años), la edad de Miguel era \( 32 - (36 - 16) = 12 \). Y efectivamente, 36 es el triple de 12.
2. Cuando Miguel tenga 36 años (en 4 años), Rubén tendrá \( 36 + 4 = 40 \) años, y 40 es el doble de la edad que tenía Miguel hace 12 años (\( 32 - 12 = 20 \)).

Por lo tanto, las edades y la suma son correctas.

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¿Tienes alguna pregunta adicional o te gustaría más detalles?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo podría resolverse este problema usando un enfoque gráfico?
2. ¿Qué variaría si las proporciones de las edades fueran diferentes?
3. ¿Cómo se podría verificar la respuesta usando otro método?
4. ¿Qué pasaría si se modificaran las condiciones del problema?
5. ¿Podrías modelar otros problemas de edades similares con diferentes relaciones?

### Consejo:
Al resolver problemas de edades, trabajar con un sistema de ecuaciones lineales suele ser la manera más directa y efectiva de llegar a la solución correcta.

Learn how to solve a complex age problem involving Rubén and Miguel using linear equations and systems of equations. This detailed solution covers Rubén's and Miguel's current ages and their relationship over time. Suitable for high school level mathematics.

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