Considere K(4, 8), L(5, 4) e M(8, 7), respectivamente, os pontos médios dos lados começar estilo tamanho matemático 14px A B em moldura superior fecha moldura vírgula espaço B C em moldura superior fecha moldura espaço reto e espaço A C em moldura superior fecha moldura fim do estilo de um triângulo ABC. Desse modo, as coordenadas do vértice A são:

a

(1, 5)

b

(2, 4)

c

(9, 3)

d

(7, 11)

e

(6, 5)

Vamos resolver o problema utilizando o conceito de ponto médio. Os pontos \( K(4, 8) \), \( L(5, 4) \) e \( M(8, 7) \) são, respectivamente, os pontos médios dos lados \( AB \), \( BC \) e \( AC \) do triângulo \( ABC \).

### Passo 1: Definir as coordenadas dos pontos \( A \), \( B \) e \( C \)
Vamos denotar as coordenadas dos vértices \( A(x_a, y_a) \), \( B(x_b, y_b) \) e \( C(x_c, y_c) \).

### Passo 2: Usar a fórmula do ponto médio
Sabemos que o ponto médio entre dois pontos \( P(x_1, y_1) \) e \( Q(x_2, y_2) \) é dado por:
\[
\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
Então, podemos aplicar isso para os três pontos médios fornecidos.

### Passo 3: Aplicar as equações para encontrar \( A(x_a, y_a) \)

1. **Ponto K(4, 8) é o ponto médio de \( AB \):**

\[
\left( \frac{x_a + x_b}{2}, \frac{y_a + y_b}{2} \right) = (4, 8)
\]
\[
\frac{x_a + x_b}{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad x_a + x_b = 8 \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{y_a + y_b}{2} = 8 \quad \Rightarrow \quad y_a + y_b = 16 \quad \text{(2)}
\]

2. **Ponto L(5, 4) é o ponto médio de \( BC \):**

\[
\left( \frac{x_b + x_c}{2}, \frac{y_b + y_c}{2} \right) = (5, 4)
\]
\[
\frac{x_b + x_c}{2} = 5 \quad \Rightarrow \quad x_b + x_c = 10 \quad \text{(3)}
\]
\[
\frac{y_b + y_c}{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad y_b + y_c = 8 \quad \text{(4)}
\]

3. **Ponto M(8, 7) é o ponto médio de \( AC \):**

\[
\left( \frac{x_a + x_c}{2}, \frac{y_a + y_c}{2} \right) = (8, 7)
\]
\[
\frac{x_a + x_c}{2} = 8 \quad \Rightarrow \quad x_a + x_c = 16 \quad \text{(5)}
\]
\[
\frac{y_a + y_c}{2} = 7 \quad \Rightarrow \quad y_a + y_c = 14 \quad \text{(6)}
\]

### Passo 4: Resolver o sistema de equações
Agora, vamos resolver o sistema formado pelas equações (1), (2), (5) e (6):

\[
x_a + x_b = 8 \quad \text{(1)}
\]
\[
x_a + x_c = 16 \quad \text{(5)}
\]
\[
y_a + y_b = 16 \quad \text{(2)}
\]
\[
y_a + y_c = 14 \quad \text{(6)}
\]

Para encontrar \( x_a \) e \( y_a \), subtraímos (1) de (5) e (2) de (6):

\[
(x_a + x_c) - (x_a + x_b) = 16 - 8 \quad \Rightarrow \quad x_c - x_b = 8 \quad \text{(7)}
\]
\[
(y_a + y_c) - (y_a + y_b) = 14 - 16 \quad \Rightarrow \quad y_c - y_b = -2 \quad \text{(8)}
\]

Agora somamos (3) e (7), e (4) e (8):

\[
x_b + x_c + x_c - x_b = 10 + 8 \quad \Rightarrow \quad 2x_c = 18 \quad \Rightarrow \quad x_c = 9
\]
\[
y_b + y_c + y_c - y_b = 8 - 2 \quad \Rightarrow \quad 2y_c = 6 \quad \Rightarrow \quad y_c = 3
\]

Substituindo \( x_c = 9 \) e \( y_c = 3 \) nas equações (5) e (6):

\[
x_a + 9 = 16 \quad \Rightarrow \quad x_a = 7
\]
\[
y_a + 3 = 14 \quad \Rightarrow \quad y_a = 11
\]

### Conclusão
As coordenadas do vértice \( A \) são \( (7, 11) \).

**Resposta correta: d) \( (7, 11) \)**

---
Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como encontraríamos os vértices \( B \) e \( C \) se soubéssemos as coordenadas de \( A \)?
2. O que aconteceria se o ponto médio estivesse incorreto? Como isso afetaria a solução?
3. Como a fórmula do ponto médio pode ser aplicada em outras figuras geométricas?
4. Como se comporta a mediana de um triângulo em termos de ponto médio?
5. Como podemos provar que as medianas de um triângulo se encontram em um único ponto?

**Dica:** As coordenadas do ponto médio são sempre a média aritmética das coordenadas dos dois pontos extremos.

Learn how to find the coordinates of vertex A in triangle ABC using the midpoint concept. This problem involves applying the midpoint formula to determine the exact coordinates of vertex A given the midpoints of sides AB, BC, and AC. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation