En una tienda de café se vende café de la marca X y de la marca Y. El propietario de la tienda puede obtener ambos cafés a un costo de US$3 por libra. Su hijo que es estadista ha estimado que, si el café X se vende en p dólares por libra y el café Y a q dólares por libra, entonces se venderá aproximadamente (60 - 70p + 50q) libras de la marca X y (30 + 80p - 90q) libras de la marca Y. ¿Qué precio deberá ponerse a cada marca de café para maximizar el beneficio?

Para maximizar el beneficio, el propietario de la tienda de café necesita encontrar los precios $p$ y $q$ que maximicen su función de beneficio. Vamos a resolverlo paso a paso.

### Paso 1: Definir la función de beneficio

El beneficio se calcula como los ingresos totales menos los costos. Los ingresos totales provienen de la venta de las marcas de café X e Y, y los costos son el costo de adquisición de ambas marcas de café.

#### Ingresos

Los ingresos por la venta del café X son:

\[
\text{Ingresos de X} = p \times \text{Cantidad de café X vendido} = p \times (60 - 70p + 50q)
\]

Los ingresos por la venta del café Y son:

\[
\text{Ingresos de Y} = q \times \text{Cantidad de café Y vendido} = q \times (30 + 80p - 90q)
\]

#### Costos

El costo total es el costo de compra del café (3 dólares por libra) multiplicado por la cantidad total de café vendido:

\[
\text{Costo total} = 3 \times (\text{Cantidad de café X vendido} + \text{Cantidad de café Y vendido})
\]

Sustituyendo las cantidades vendidas:

\[
\text{Costo total} = 3 \times \left[(60 - 70p + 50q) + (30 + 80p - 90q)\right]
\]

#### Beneficio

La función de beneficio $B(p, q)$ es la diferencia entre los ingresos totales y el costo total:

\[
B(p, q) = p(60 - 70p + 50q) + q(30 + 80p - 90q) - 3 \times \left[(60 - 70p + 50q) + (30 + 80p - 90q)\right]
\]

Simplificamos la función de beneficio para hacerla más manejable.

### Paso 2: Simplificar la función de beneficio

Expandiendo y combinando términos, tenemos:

\[
B(p, q) = \left[60p - 70p^2 + 50pq\right] + \left[30q + 80pq - 90q^2\right] - 3 \times \left[90 + 10p - 40q\right]
\]

\[
B(p, q) = (60p - 70p^2 + 50pq + 30q + 80pq - 90q^2) - (270 + 30p - 120q)
\]

Ahora agrupamos términos similares:

\[
B(p, q) = -70p^2 - 90q^2 + 130pq + 30p + 150q - 270
\]

### Paso 3: Derivar la función de beneficio respecto a $p$ y $q$

Para encontrar los valores óptimos de $p$ y $q$ que maximizan el beneficio, tomamos las derivadas parciales de $B(p, q)$ respecto a $p$ y $q$, y las igualamos a cero.

1. **Derivada parcial respecto a $p$:**

\[
\frac{\partial B}{\partial p} = -140p + 130q + 30 = 0
\]

2. **Derivada parcial respecto a $q$:**

\[
\frac{\partial B}{\partial q} = -180q + 130p + 150 = 0
\]

### Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones

Tenemos ahora un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $p$ y $q$:

1. $-140p + 130q + 30 = 0$
2. $-180q + 130p + 150 = 0$

Podemos resolver este sistema de ecuaciones simultáneamente.

Primero, resolvemos la primera ecuación para $p$:

\[
-140p = -130q - 30
\]

\[
p = \frac{130q + 30}{140} = \frac{13q + 3}{14}
\]

Sustituimos este valor de $p$ en la segunda ecuación:

\[
-180q + 130\left(\frac{13q + 3}{14}\right) + 150 = 0
\]

Multiplicamos ambos lados por 14 para deshacernos del denominador:

\[
-2520q + 1690q + 390 + 2100 = 0
\]

Simplificamos:

\[
-830q + 2490 = 0
\]

\[
q = \frac{2490}{830} = 3
\]

Ahora sustituimos $q = 3$ en la ecuación para $p$:

\[
p = \frac{13(3) + 3}{14} = \frac{42}{14} = 3
\]

### Solución Final

Para maximizar el beneficio, el precio óptimo de venta para ambas marcas de café es $p = 3$ dólares por libra para el café X y $q = 3$ dólares por libra para el café Y.

### ¿Tienes alguna pregunta o necesitas más detalles?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambiaría la solución si el costo de adquisición del café fuera diferente a $3 por libra?
2. ¿Qué interpretación económica tienen las derivadas parciales en este contexto?
3. ¿Cómo afectaría una demanda más elástica a la solución óptima?
4. ¿Qué sucedería si se introdujeran más restricciones, como un límite en la cantidad de café que se puede vender?
5. ¿Cómo podría usar un análisis de sensibilidad para ver cómo los cambios en el precio afectan las ventas?

**Tip:** En problemas de maximización de beneficios, es crucial comprobar que las condiciones de segundo orden (es decir, las derivadas segundas) confirmen un máximo global, especialmente en funciones cuadráticas como esta.

Explore how to maximize profit in a coffee shop by setting optimal prices for coffee brands X and Y. This problem involves optimizing a profit function using partial derivatives and is suitable for college-level students.

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