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Claro, te proporcionaré 5 problemas resueltos paso a paso que abordan los temas de funciones lineales y gráficos, funciones cuadráticas y gráficos, y las leyes del coseno y del seno.

### **1. Problema de Función Lineal y su Gráfico**

**Problema:** Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $ A(2, 3) $ y $ B(5, 11) $, y grafica la función.

**Solución Paso a Paso:**

1. **Encuentra la pendiente (m):**
   La fórmula para la pendiente entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es:
   \[
   m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
   \]
   Sustituyendo los valores de los puntos $A(2, 3)$ y $B(5, 11)$:
   \[
   m = \frac{11 - 3}{5 - 2} = \frac{8}{3}
   \]

2. **Encuentra la ecuación de la recta:**
   Usamos la fórmula punto-pendiente:
   \[
   y - y_1 = m(x - x_1)
   \]
   Tomando el punto $A(2, 3)$ y la pendiente $m = \frac{8}{3}$:
   \[
   y - 3 = \frac{8}{3}(x - 2)
   \]

   Simplificamos:
   \[
   y - 3 = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3}
   \]
   \[
   y = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3} + 3
   \]
   \[
   y = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3} + \frac{9}{3}
   \]
   \[
   y = \frac{8}{3}x - \frac{7}{3}
   \]

3. **Gráfica de la función lineal:**
   La ecuación de la recta es $ y = \frac{8}{3}x - \frac{7}{3} $. Grafica esta ecuación utilizando los puntos A y B, o el punto de intersección con el eje y $(-7/3)$ y la pendiente.

### **2. Problema de Función Cuadrática y su Gráfico**

**Problema:** Encuentra los puntos de corte con el eje x de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ y grafica la parábola.

**Solución Paso a Paso:**

1. **Encuentra los puntos de corte con el eje x:**
   Se obtienen resolviendo la ecuación cuadrática $f(x) = 0$:
   \[
   2x^2 - 8x + 6 = 0
   \]
   Dividimos entre 2:
   \[
   x^2 - 4x + 3 = 0
   \]
   Factorizamos:
   \[
   (x - 1)(x - 3) = 0
   \]
   Por lo tanto, $x = 1$ y $x = 3$ son los puntos de corte con el eje x.

2. **Encuentra el vértice de la parábola:**
   La fórmula para la coordenada x del vértice es:
   \[
   x_v = -\frac{b}{2a}
   \]
   Donde $a = 2$ y $b = -8$:
   \[
   x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2
   \]
   Sustituimos $x_v = 2$ en $f(x)$ para encontrar la coordenada y del vértice:
   \[
   f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2
   \]
   Entonces, el vértice es $ (2, -2) $.

3. **Gráfica de la parábola:**
   Dibuja la parábola utilizando los puntos de corte con el eje x $ (1, 0) $ y $ (3, 0) $, y el vértice $ (2, -2) $.

### **3. Problema de Ley del Seno**

**Problema:** En un triángulo $ABC$, se sabe que $ \angle A = 30^\circ $, $ \angle B = 45^\circ $, y el lado $a = 10$. Encuentra el lado $b$.

**Solución Paso a Paso:**

1. **Aplica la ley del seno:**
   La ley del seno establece:
   \[
   \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
   \]
   Dado que $a = 10$, $\angle A = 30^\circ$, y $\angle B = 45^\circ$, tenemos:
   \[
   \frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}
   \]
   Sabemos que $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ y $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
   \[
   \frac{10}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
   \]
   \[
   20 = b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
   \]
   \[
   b = 20 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 20 \sqrt{2}
   \]

2. **Simplifica:**
   \[
   b = 20 \sqrt{2} \approx 28.28
   \]

### **4. Problema de Ley del Coseno**

**Problema:** En un triángulo $ABC$, los lados $a = 7$, $b = 5$, y el ángulo entre ellos $ \angle C = 60^\circ $. Encuentra el lado $c$.

**Solución Paso a Paso:**

1. **Aplica la ley del coseno:**
   La ley del coseno es:
   \[
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
   \]
   Sustituyendo los valores:
   \[
   c^2 = 7^2 + 5^2 - 2(7)(5) \cos 60^\circ
   \]
   Sabemos que $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:
   \[
   c^2 = 49 + 25 - 2(7)(5) \cdot \frac{1}{2}
   \]
   \[
   c^2 = 49 + 25 - 35
   \]
   \[
   c^2 = 39
   \]

2. **Encuentra el valor de $c$:**
   \[
   c = \sqrt{39} \approx 6.24
   \]

### **5. Problema de Función Lineal con Aplicación**

**Problema:** Una compañía cobra una tarifa fija de $50 por un servicio más $3 por cada kilómetro recorrido. Representa la ecuación de costos en función del número de kilómetros $x$ y grafica la función.

**Solución Paso a Paso:**

1. **Define la función lineal:**
   La función de costo $C(x)$ es:
   \[
   C(x) = 50 + 3x
   \]

2. **Interpreta la función:**
   La pendiente $m = 3$ representa el costo por kilómetro, y el término constante 50 es la tarifa fija.

3. **Gráfica de la función:**
   Dibuja una línea que comienza en el punto $ (0, 50) $ (tarifa inicial) y sube con una pendiente de 3 (por cada kilómetro recorrido).

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de estos problemas o tienes alguna pregunta específica? 

### **Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se pueden encontrar los puntos de intersección entre una función cuadrática y una función lineal?
2. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver ecuaciones cuadráticas?
3. ¿Cuáles son las diferencias entre las funciones lineales y cuadráticas en términos de su representación gráfica?
4. ¿Cómo se pueden aplicar las leyes del seno y coseno en triángulos no rectángulos en la vida real?
5. ¿Qué significado tiene la pendiente y la intersección con el eje y en el contexto de problemas del mundo real?

**Consejo:** Cuando trabajes con funciones cuadráticas, es útil recordar que el vértice de la parábola siempre se encuentra en el punto de simetría de la función.

Explore problemas resueltos paso a paso sobre funciones lineales y gráficos, funciones cuadráticas y gráficos, y las leyes del coseno y del seno. Aprende cómo resolver estos problemas con ejemplos detallados y fáciles de entender.

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