Ejercicio 1. Calcula el mcm y el MCD de los siguientes números a partir de su descomposición
en factores primos.
a) 81 y 99
b) 112 y 121

c) 72, 105 y 400
d) 120 y 320

e) 40, 64 y 90
f) 228, 612 y 900

Para calcular el **mínimo común múltiplo (mcm)** y el **máximo común divisor (MCD)**, primero descomponemos los números en factores primos. Luego aplicamos las reglas:

- Para el **MCD**, tomamos los factores primos comunes a todos los números con el menor exponente.
- Para el **mcm**, tomamos todos los factores primos involucrados, eligiendo el mayor exponente para cada factor.

### a) 81 y 99

1. **81**:  
   \( 81 = 3^4 \)
   
2. **99**:  
   \( 99 = 3^2 \times 11 \)

- **MCD(81, 99)**:  
  \( 3^2 = 9 \) (el menor exponente de 3)
  
- **mcm(81, 99)**:  
  \( 3^4 \times 11 = 81 \times 11 = 891 \)

---

### b) 112 y 121

1. **112**:  
   \( 112 = 2^4 \times 7 \)
   
2. **121**:  
   \( 121 = 11^2 \)

- **MCD(112, 121)**:  
  No tienen factores comunes, por lo que \( \text{MCD} = 1 \)
  
- **mcm(112, 121)**:  
  \( 2^4 \times 7 \times 11^2 = 16 \times 7 \times 121 = 13552 \)

---

### c) 72, 105 y 400

1. **72**:  
   \( 72 = 2^3 \times 3^2 \)
   
2. **105**:  
   \( 105 = 3 \times 5 \times 7 \)
   
3. **400**:  
   \( 400 = 2^4 \times 5^2 \)

- **MCD(72, 105, 400)**:  
  No tienen factores comunes en todos, por lo que \( \text{MCD} = 1 \)
  
- **mcm(72, 105, 400)**:  
  \( 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7 = 16 \times 9 \times 25 \times 7 = 25200 \)

---

### d) 120 y 320

1. **120**:  
   \( 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \)
   
2. **320**:  
   \( 320 = 2^6 \times 5 \)

- **MCD(120, 320)**:  
  \( 2^3 \times 5 = 40 \)
  
- **mcm(120, 320)**:  
  \( 2^6 \times 3 \times 5 = 320 \times 3 = 960 \)

---

### e) 40, 64 y 90

1. **40**:  
   \( 40 = 2^3 \times 5 \)
   
2. **64**:  
   \( 64 = 2^6 \)
   
3. **90**:  
   \( 90 = 2 \times 3^2 \times 5 \)

- **MCD(40, 64, 90)**:  
  \( 2 = 2^1 \)
  
- **mcm(40, 64, 90)**:  
  \( 2^6 \times 3^2 \times 5 = 64 \times 9 \times 5 = 2880 \)

---

### f) 228, 612 y 900

1. **228**:  
   \( 228 = 2^2 \times 3 \times 19 \)
   
2. **612**:  
   \( 612 = 2^2 \times 3^2 \times 17 \)
   
3. **900**:  
   \( 900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \)

- **MCD(228, 612, 900)**:  
  \( 2^2 \times 3 = 12 \)
  
- **mcm(228, 612, 900)**:  
  \( 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 17 \times 19 = 5405400 \)

---

¿Te gustaría una explicación más detallada sobre alguno de estos cálculos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se pueden simplificar las expresiones algebraicas mediante factores primos?
2. ¿Cuándo es útil calcular el MCD y mcm en problemas prácticos?
3. ¿Qué relación tienen el MCD y el mcm con las fracciones?
4. ¿Cómo afecta la inclusión de un nuevo número en los cálculos de MCD y mcm?
5. ¿Qué aplicaciones tienen el MCD y el mcm en la criptografía?

**Tip**: El MCD se puede usar para simplificar fracciones dividiendo tanto el numerador como el denominador por su MCD.

Ejercicio 1. Calcula el mcm y el MCD de los siguientes números a partir de su descomposición en factores primos.
a) 81 y 99
b) 112 y 121

c) 72, 105 y 400
d) 120 y 320

e) 40, 64 y 90
f) 228, 612 y 900

Learn how to calculate the Least Common Multiple (LCM) and Greatest Common Divisor (GCD) using prime factorization. This detailed step-by-step guide covers examples such as 81 and 99, 112 and 121, and others. Suitable for students in Grades 9-12.

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