Calcule a área da parte que está acima do plano xy da superfície obtida pela rotação em torno do
eixo z da curva z = 1 − y^2 , y > 0.

Para calcular a área da parte da superfície que está acima do plano \( xy \), obtida pela rotação em torno do eixo \( z \) da curva \( z = 1 - y^2 \) (com \( y > 0 \)), devemos seguir os seguintes passos:

### 1. Representação da superfície

A superfície é gerada pela rotação da curva \( z = 1 - y^2 \) ao redor do eixo \( z \). Em coordenadas cilíndricas, onde \( x = r\cos(\theta) \), \( y = r\sin(\theta) \), e \( z = z \), a equação da curva fica:

\[
z = 1 - y^2
\]

Substituindo \( y = r\sin(\theta) \):

\[
z = 1 - r^2\sin^2(\theta)
\]

### 2. Restrição da área

Queremos a área da superfície para a parte que está **acima** do plano \( xy \). Isso implica que \( z \geq 0 \). Assim, \( 1 - r^2\sin^2(\theta) \geq 0 \) nos dá a condição:

\[
r^2\sin^2(\theta) \leq 1
\]

Como \( \sin^2(\theta) \leq 1 \), isso implica que \( r \leq 1 \) para qualquer \( \theta \).

### 3. Fórmula da área da superfície de revolução

A área da superfície gerada pela rotação de uma curva \( z = f(y) \) ao redor do eixo \( z \) é dada por:

\[
A = 2\pi \int_{a}^{b} r \sqrt{1 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^2} \, dy
\]

Aqui, \( z = 1 - y^2 \) e \( \frac{dz}{dy} = -2y \). Portanto, temos:

\[
\sqrt{1 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^2} = \sqrt{1 + 4y^2}
\]

A curva \( y = 0 \) até \( y = 1 \) corresponde ao intervalo de integração.

### 4. Substituindo na fórmula

Agora, integramos:

\[
A = 2\pi \int_{0}^{1} r \cdot \sqrt{1 + 4y^2} \, dy
\]

Para obter a área total, precisamos integrar sobre a faixa de \( y \) e multiplicar pelo raio \( r = y \).

### 5. Resolução da integral

\[
A = 2\pi \int_{0}^{1} y \sqrt{1 + 4y^2} \, dy
\]

Para resolver esta integral, podemos usar a substituição \( u = 1 + 4y^2 \), \( du = 8y \, dy \):

\[
A = \frac{\pi}{2} \int_{1}^{5} \sqrt{u} \, du
\]

Integrando:

\[
A = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[u^{3/2}\right]_{1}^{5} = \frac{\pi}{3} \left[(5)^{3/2} - (1)^{3/2}\right] = \frac{\pi}{3} \left(5\sqrt{5} - 1\right)
\]

Portanto, a área da superfície é:

\[
A = \frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} - 1)
\]

### Conclusão

A área da parte da superfície que está acima do plano \( xy \) é \( \frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} - 1) \).

---

**Você tem alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes?**

### Perguntas Relacionadas:

1. Como integrar outras funções que descrevem superfícies de revolução?
2. O que acontece se considerarmos \( y < 0 \) na superfície dada?
3. Como calcular o volume da região gerada pela rotação da curva?
4. Existe uma forma de visualizar a superfície gerada por essa rotação?
5. Como aplicar coordenadas cilíndricas para resolver outras superfícies de revolução?

**Dica:** O método da substituição é útil para resolver integrais que envolvem raízes quadradas.

Explore how to calculate the area above the xy plane of a surface generated by rotating z = 1 - y^2 around the z-axis. This problem involves advanced integration techniques and the surface area of revolution formula. Suitable for advanced high school students and college-level calculus enthusiasts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation