Tính I=∬S(xy+yz+zx)dS
, với S
 là phần mặt nón z=x2+y2−−−−−−√
 nằm trong mặt trụ x2+y2=7,6x
.

 

Chú ý: Kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy. 

Để tính tích phân mặt \( I = \iint_S (xy + yz + zx) \, dS \) với \( S \) là phần mặt nón \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) nằm trong mặt trụ \( x^2 + y^2 = 7.6x \), ta thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Xác định miền \( S \) và tham số hóa mặt nón
- Mặt nón \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) có thể được viết trong hệ tọa độ cực (polar coordinates) là \( z = r \).
- Mặt trụ \( x^2 + y^2 = 7.6x \) là phương trình của đường tròn trong mặt phẳng \( xy \). Chúng ta có thể viết lại dưới dạng \( r^2 = 7.6r\cos\theta \).

Miền giới hạn bởi mặt trụ này có bán kính \( r \) từ \( 0 \) đến nghiệm của phương trình \( r^2 - 7.6r\cos\theta = 0 \). Nghiệm của phương trình này là \( r = 0 \) hoặc \( r = 7.6\cos\theta \).

### Bước 2: Tính phần tử diện tích \( dS \) trên mặt nón
Với mặt nón \( z = r \), ta có:

- \( \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} = (1, 0, 1) \)
- \( \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (0, r, 0) \)

Do đó, độ dài phần tử diện tích \( dS \) là:

\[
dS = \left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \right| dr d\theta = \sqrt{1 + 1} \, r \, dr d\theta = \sqrt{2} \, r \, dr d\theta
\]

### Bước 3: Tính tích phân
Thay đổi tích phân thành hệ tọa độ cực, ta có:

\[
I = \int_0^{2\pi} \int_0^{7.6\cos\theta} \left( r^2\cos\theta \sin\theta + r^3 + r^3 \right) \sqrt{2} \, r \, dr \, d\theta
\]

Sau khi triển khai, ta cần tính:

\[
I = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^{7.6\cos\theta} \left( r^2\cos\theta \sin\theta + 2r^3 \right) r \, dr \, d\theta
\]

Tính cụ thể:

1. Tính tích phân theo \( r \) trước.
2. Sau đó tính tích phân theo \( \theta \).

Tôi sẽ thực hiện tính toán này.

### Bước 4: Tính toán cụ thể

Ta sẽ thực hiện các phép tính bằng Python.Kết quả tính toán cho tích phân \( I = \iint_S (xy + yz + zx) \, dS \) là **0**.

Kết quả này có thể xuất hiện do tính chất đối xứng của miền tích phân và hàm số tích phân (các thành phần dương và âm triệt tiêu lẫn nhau). 

Nếu bạn có thắc mắc hoặc muốn thêm chi tiết về vấn đề này, mình sẵn sàng giải đáp!

1. Tại sao tích phân mặt trong bài toán này lại bằng 0?
2. Có những ứng dụng nào của tích phân mặt trong vật lý và kỹ thuật?
3. Làm sao để xác định miền giới hạn bởi một mặt trụ trong không gian?
4. Hệ tọa độ cực có những lợi ích gì khi giải bài toán tích phân?
5. Làm sao để tính toán tích phân mặt trong các hệ tọa độ khác?
6. Cách nào để kiểm tra độ chính xác của kết quả tính toán tích phân mặt?
7. Các công cụ tính toán nào có thể giúp trong việc giải tích phân mặt phức tạp?
8. Làm sao để trực quan hóa mặt nón và mặt trụ trong bài toán này?

**Mẹo:** Khi tích phân mặt cho kết quả bằng 0, hãy kiểm tra xem liệu có sự đối xứng hoặc các thành phần dương và âm triệt tiêu lẫn nhau hay không.

Learn how to calculate the double integral I = ∬S(xy + yz + zx) dS over the surface S, where S is part of the cone z = sqrt(x^2 + y^2) within the cylinder x^2 + y^2 = 7.6x. Detailed step-by-step solution with conversion to cylindrical coordinates and specific calculations. Suitable for advanced undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation