Sea A=\[aij] una matriz de orden 3x2, con aij=6j-3i  y 

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Si D = AT + B, calcule d13.

Para resolver el problema, primero descompondremos los pasos necesarios para encontrar el elemento \(d_{13}\) de la matriz \(D = A^T + B\), donde \(A^T\) es la matriz transpuesta de \(A\).

### Paso 1: Construir la matriz \(A\)
La matriz \(A\) es de orden \(3 \times 2\) y sus elementos se definen como \(a_{ij} = 6j - 3i\).

\[
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} 
\end{pmatrix}
\]

Calculamos cada elemento:

- \(a_{11} = 6(1) - 3(1) = 6 - 3 = 3\)
- \(a_{12} = 6(2) - 3(1) = 12 - 3 = 9\)
- \(a_{21} = 6(1) - 3(2) = 6 - 6 = 0\)
- \(a_{22} = 6(2) - 3(2) = 12 - 6 = 6\)
- \(a_{31} = 6(1) - 3(3) = 6 - 9 = -3\)
- \(a_{32} = 6(2) - 3(3) = 12 - 9 = 3\)

Entonces, la matriz \(A\) es:

\[
A = \begin{pmatrix}
3 & 9 \\
0 & 6 \\
-3 & 3
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Transponer la matriz \(A\)
La transpuesta de la matriz \(A\) se obtiene al intercambiar filas por columnas:

\[
A^T = \begin{pmatrix}
3 & 0 & -3 \\
9 & 6 & 3
\end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Definir la matriz \(B\)
La matriz \(B\) es una matriz de orden \(2 \times 3\) dada como:

\[
B = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 3 \\
5 & -2 & -2
\end{pmatrix}
\]

### Paso 4: Sumar \(A^T\) y \(B\) para obtener \(D\)
La matriz \(D\) se obtiene sumando \(A^T\) y \(B\):

\[
D = A^T + B = \begin{pmatrix}
3 & 0 & -3 \\
9 & 6 & 3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 3 \\
5 & -2 & -2
\end{pmatrix}
\]

Realizamos la suma elemento por elemento:

\[
D = \begin{pmatrix}
3 + (-1) & 0 + 0 & -3 + 3 \\
9 + 5 & 6 + (-2) & 3 + (-2)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
14 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\]

### Paso 5: Encontrar \(d_{13}\)
El elemento \(d_{13}\) es el elemento de la primera fila y tercera columna de la matriz \(D\). 

\[
d_{13} = 0
\]

Por lo tanto, \(d_{13} = 0\).

---

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta adicional? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la transpuesta de una matriz de orden \(m \times n\)?
2. ¿Cómo se realiza la suma de dos matrices de distinto orden?
3. ¿Qué propiedades tienen las matrices de orden \(2 \times 3\) y \(3 \times 2\)?
4. ¿Qué significan los subíndices en la notación de matrices?
5. ¿Cómo se interpretan las operaciones con matrices en términos de transformaciones lineales?

**Tip:** Siempre verifica que las dimensiones de las matrices sean compatibles antes de sumarlas o multiplicarlas.

Learn how to calculate the element d13 of matrix D = A^T + B, where A is a 3x2 matrix defined by aij = 6j - 3i, A^T is its transpose, and B is a specified 2x3 matrix. This problem involves matrix operations and is suitable for high school level students.

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