Cálculo de la matriz inversa de tamaño 𝟑 × 𝟑.
• Calcule la matriz inversa mediante la aplicación del algoritmo
de eliminación de Gauss-Jordán.
Sugerencia: Para determinar la matriz inversa utilizando el
algoritmo
de eliminación de Gauss-Jordán, se coloca la matriz original a la
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izquierda y la matriz identidad a la derecha. A continuación, se
aplican operaciones elementales entre filas con el objetivo de
transformar la matriz de la izquierda en la matriz identidad.
La matriz resultante a la derecha será la matriz inversa de la
matriz original.
• Calcule la matriz inversa utilizando el método de la matriz adjunta
y el determinante.
Sugerencia: Si la matriz 𝑴 es invertible, entonces su inversa 𝑴−𝟏
se puede calcular como el producto del inverso multiplicativo del
determinante de 𝑴 y la matriz adjunta de 𝑴. Es decir,
𝑴−1 = (
1
𝑑𝑒 𝑡(𝑴)
∙ 𝐴𝑑𝑗(𝑴)).
A. 𝑨 = (
𝟏 𝟎 −𝟐
𝟎 𝟏 𝟑
𝟏 −𝟐 𝟒
)

### Cálculo de la matriz inversa usando dos métodos:
Tienes la matriz \( A \):

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 3 \\
1 & -2 & 4
\end{pmatrix}
\]

#### Método 1: Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán
El método de **Gauss-Jordán** consiste en convertir la matriz \( A \) en la matriz identidad mediante operaciones elementales de fila, y las mismas operaciones aplicadas a la matriz identidad darán como resultado la matriz inversa.

1. Partimos con \( A \) a la izquierda y la matriz identidad \( I \) a la derecha:
   \[
   \left( \begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
   1 & -2 & 4 & 0 & 0 & 1
   \end{array} \right)
   \]
2. Usamos operaciones entre filas para convertir la matriz \( A \) en la matriz identidad:
   
   - **Paso 1:** Restamos la primera fila de la tercera fila:
     \[
     \left( \begin{array}{ccc|ccc}
     1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\
     0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
     0 & -2 & 6 & -1 & 0 & 1
     \end{array} \right)
     \]
   
   - **Paso 2:** Dividimos la tercera fila entre -2:
     \[
     \left( \begin{array}{ccc|ccc}
     1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\
     0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
     0 & 1 & -3 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}
     \end{array} \right)
     \]
   
   - **Paso 3:** Restamos la segunda fila de la tercera fila y luego sumamos dos veces la tercera fila a la primera:
     \[
     \left( \begin{array}{ccc|ccc}
     1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 \\
     0 & 1 & 0 & -\frac{3}{2} & 1 & \frac{3}{2} \\
     0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}
     \end{array} \right)
     \]

   Ahora la matriz a la izquierda es la matriz identidad, lo que significa que la matriz a la derecha es la **matriz inversa**:
   \[
   A^{-1} = \begin{pmatrix}
   2 & 0 & -1 \\
   -\frac{3}{2} & 1 & \frac{3}{2} \\
   \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}
   \end{pmatrix}
   \]

#### Método 2: Método de la matriz adjunta y determinante
Para este método, necesitamos primero calcular el determinante de \( A \).

1. **Determinante de \( A \):**
   \[
   \det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 4 - (-2) \cdot 3) - 0 \cdot (0) + (-2) \cdot (0 \cdot 4 - 1 \cdot 3)
   \]
   \[
   \det(A) = 1 \cdot (4 + 6) - 0 - 2 \cdot (-3)
   \]
   \[
   \det(A) = 10 + 6 = 16
   \]

2. **Matriz adjunta de \( A \):**
   Ahora calculamos los cofactores de \( A \) para encontrar la matriz adjunta.

   \[
   \text{Cofactor}_{11} = \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10
   \]
   \[
   \text{Cofactor}_{12} = -\det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = -(0 \cdot 4 - 3 \cdot 1) = -(-3) = 3
   \]
   \[
   \text{Cofactor}_{13} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 = -1
   \]
   \[
   \text{Cofactor}_{21} = -\det \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = -(0 \cdot 4 - (-2) \cdot (-2)) = -4
   \]
   \[
   \text{Cofactor}_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 - (-2) \cdot 1 = 4 + 2 = 6
   \]
   \[
   \text{Cofactor}_{23} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = -1
   \]
   \[
   \text{Cofactor}_{31} = \det \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 0 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 = 2
   \]
   \[
   \text{Cofactor}_{32} = -\det \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = -(1 \cdot 3 - (-2) \cdot 1) = -5
   \]
   \[
   \text{Cofactor}_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 1
   \]

   La matriz de cofact

Cálculo de la matriz inversa de tamaño 3 × 3 mediante el algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán y el método de la matriz adjunta y determinante.

Descubre cómo calcular la matriz inversa de una matriz 3x3 utilizando dos métodos: el algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán y el método de la matriz adjunta y determinante. Este problema cubre conceptos clave de álgebra de matrices, adecuado para estudiantes de matemáticas avanzadas.

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