Sea A igual abrir paréntesis tabla fila 3 2 1 fila 0 2 2 fila 0 0 celda menos 1 fin celda fin tabla cerrar paréntesis encuentra A elevado a menos 1 fin elevado, utiliza la siguiente formula:

A elevado a menos 1 fin elevado igual fracción numerador 1 entre denominador D e t espacio A fin fracción A d j espacio A

Pregunta 3Respuesta

a.
A elevado a menos 1 fin elevado igual abrir paréntesis tabla fila celda 1 dividido por 3 fin celda celda menos 1 dividido por 3 fin celda celda menos 1 dividido por 3 fin celda fila 0 celda 0.5 fin celda celda menos 1 fin celda fila 0 0 1 fin tabla cerrar paréntesis


b.
A elevado a menos 1 fin elevado igual abrir paréntesis tabla fila celda 1 dividido por 3 fin celda celda menos 1 dividido por 3 fin celda celda menos 1 dividido por 3 fin celda fila 0 celda 0.5 fin celda celda menos 1 fin celda fila 0 0 celda menos 1 fin celda fin tabla cerrar paréntesis


c.
A elevado a menos 1 fin elevado igual abrir paréntesis tabla fila celda 2 dividido por 3 fin celda celda menos 2 dividido por 3 fin celda celda menos 2 dividido por 3 fin celda fila 0 celda 1 dividido por 2 fin celda 1 fila 0 0 celda menos 1 fin celda fin tabla cerrar paréntesis


d.
A elevado a menos 1 fin elevado igual abrir paréntesis tabla fila celda 1 dividido por 3 fin celda celda menos 1 dividido por 3 fin celda celda menos 1 dividido por 3 fin celda fila 0 celda 1 dividido por 2 fin celda 1 fila 0 0 celda menos 1 fin celda fin tabla cerrar paréntesis

Para encontrar la inversa de la matriz \( A \), utilizaremos la fórmula:

\[
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Adj}(A)
\]

Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \), vamos a seguir los pasos:

### 1. Cálculo del determinante de \( A \)

El determinante de una matriz \( 3 \times 3 \) se calcula como:

\[
\text{det}(A) = a_{11} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - a_{12} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + a_{13} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}
\]

Para \( A \):

\[
\text{det}(A) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}
\]

Calculando los determinantes de las matrices \( 2 \times 2 \):

\[
\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) - 2 \cdot 0 = -2
\]
\[
\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 0 = 0
\]
\[
\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0
\]

Por lo tanto:

\[
\text{det}(A) = 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = -6
\]

### 2. Cálculo de la adjunta de \( A \)

Para encontrar la adjunta de \( A \), necesitamos calcular los cofactores de cada elemento y luego transponer la matriz de cofactores.

La matriz de cofactores \( \text{Cof}(A) \) es:

\[
\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} 
\text{Cof}_{11} & \text{Cof}_{12} & \text{Cof}_{13} \\
\text{Cof}_{21} & \text{Cof}_{22} & \text{Cof}_{23} \\
\text{Cof}_{31} & \text{Cof}_{32} & \text{Cof}_{33}
\end{pmatrix}
\]

Calculamos cada cofactor:

- \( \text{Cof}_{11} = \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -2 \)
- \( \text{Cof}_{12} = -\text{det} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 0 \)
- \( \text{Cof}_{13} = \text{det} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \)
- \( \text{Cof}_{21} = -\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 2 \)
- \( \text{Cof}_{22} = \text{det} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -3 \)
- \( \text{Cof}_{23} = -\text{det} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \)
- \( \text{Cof}_{31} = \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 0 \)
- \( \text{Cof}_{32} = -\text{det} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \)
- \( \text{Cof}_{33} = \text{det} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 6 \)

La matriz de cofactores es:

\[
\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}
\]

La adjunta de \( A \) es la transpuesta de la matriz de cofactores:

\[
\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}
\]

### 3. Cálculo de la inversa de \( A \)

\[
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Adj}(A) = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}
\]

\[
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
\]

Por lo tanto, la opción correcta es la **d**:

\[
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
\]

¿Tienes alguna duda o deseas más detalles?

---

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**Tip:** La matriz inversa es fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la fórmula \( x = A^{-1}b \).

Learn how to calculate the inverse of a matrix A = [3 2 1; 0 2 2; 0 0 -1] step-by-step. This problem covers matrix algebra, determinants, and the adjugate matrix. Suitable for advanced high school students.

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