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Calcula la medida del menor ángulo diedro en la siguiente figura. Luego, halla su suplemento.

Para calcular la medida del menor ángulo diedro en la figura y su suplemento, sigamos los siguientes pasos:

### Paso 1: Identificación de los ángulos dados
En la figura se muestran los siguientes ángulos:
- El ángulo entre el plano \(P\) y el plano que forma con la línea \(P \perp Q\) es \(3\alpha + 12^\circ\).
- El ángulo entre el plano \(Q\) y el plano horizontal es \(\alpha - 10^\circ\).

### Paso 2: Uso de la relación de ángulos diedros
Dado que \(P \perp Q\), el ángulo diedro entre los planos \(P\) y \(Q\) es el complemento del ángulo \(3\alpha + 12^\circ\) con el ángulo \(\alpha - 10^\circ\). Es decir, la suma de estos ángulos debe ser \(90^\circ\).

\[
3\alpha + 12^\circ + \alpha - 10^\circ = 90^\circ
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación para \(\alpha\)
Simplificamos la ecuación:

\[
4\alpha + 2^\circ = 90^\circ
\]

Restamos 2° en ambos lados:

\[
4\alpha = 88^\circ
\]

Dividimos por 4:

\[
\alpha = 22^\circ
\]

### Paso 4: Calcular los ángulos correspondientes
Ahora que tenemos \(\alpha = 22^\circ\), podemos calcular los ángulos:

- El ángulo \(3\alpha + 12^\circ\) es:

\[
3(22^\circ) + 12^\circ = 66^\circ + 12^\circ = 78^\circ
\]

- El ángulo \(\alpha - 10^\circ\) es:

\[
22^\circ - 10^\circ = 12^\circ
\]

### Paso 5: Identificar el menor ángulo diedro
El menor ángulo diedro entre los planos \(P\) y \(Q\) es \(12^\circ\), ya que es el ángulo más pequeño entre los dos valores.

### Paso 6: Calcular el suplemento
El suplemento del ángulo menor es \(180^\circ - 12^\circ = 168^\circ\).

### Respuesta Final
- **El menor ángulo diedro es de \(12^\circ\).**
- **El suplemento del menor ángulo diedro es de \(168^\circ\).**

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Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determinan los ángulos diedros en geometría?
2. ¿Qué propiedades tienen los ángulos complementarios y suplementarios?
3. ¿Cuál es la diferencia entre un ángulo diedro y un ángulo plano?
4. ¿Cómo influyen las perpendiculares en la determinación de los ángulos diedros?
5. ¿Qué otras aplicaciones tienen los ángulos diedros en matemáticas y física?

**Tip:** En geometría espacial, siempre es útil visualizar los ángulos en un contexto tridimensional para entender mejor las relaciones entre los planos y líneas.

Aprende a calcular la medida del menor ángulo diedro en una figura geométrica y su suplemento utilizando la suma de ángulos. Este problema cubre conceptos clave de geometría espacial, como los ángulos diedros y su relación con los planos. Adecuado para estudiantes de secundaria.

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