Use a regra da cadeia para determinar 𝑑𝑧
𝑑𝑡
.
𝑧 = 𝑥
2𝑦, 𝑥 = 𝑒
𝑡
2
, 𝑦 = 2𝑡 + 1

Para encontrar \( \frac{dz}{dt} \) usando a regra da cadeia, devemos considerar as dependências das variáveis \( z \), \( x \) e \( y \) em relação a \( t \). 

A função é definida como:
\[
z = x^2 y
\]
onde \( x = e^{t^2} \) e \( y = 2t + 1 \).

### Passo 1: Aplicar a regra da cadeia
Pela regra da cadeia, a derivada de \( z \) em relação a \( t \) é dada por:
\[
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}
\]

### Passo 2: Calcular as derivadas parciais

- **Derivada parcial de \( z \) em relação a \( x \):**
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \cdot y
\]

- **Derivada parcial de \( z \) em relação a \( y \):**
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = x^2
\]

### Passo 3: Calcular as derivadas de \( x \) e \( y \) em relação a \( t \)

- **Derivada de \( x \) em relação a \( t \):**
\[
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( e^{t^2} \right) = 2t \cdot e^{t^2}
\]

- **Derivada de \( y \) em relação a \( t \):**
\[
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( 2t + 1 \right) = 2
\]

### Passo 4: Substituir os valores na fórmula da regra da cadeia

Agora, substituímos as derivadas na expressão da regra da cadeia:
\[
\frac{dz}{dt} = \left( 2x \cdot y \right) \cdot \left( 2t \cdot e^{t^2} \right) + \left( x^2 \right) \cdot 2
\]

Finalmente, substituímos as expressões de \( x = e^{t^2} \) e \( y = 2t + 1 \):
\[
\frac{dz}{dt} = \left( 2e^{t^2} \cdot (2t + 1) \right) \cdot \left( 2t \cdot e^{t^2} \right) + \left( e^{2t^2} \right) \cdot 2
\]

Simplificando:
\[
\frac{dz}{dt} = 4t \cdot e^{2t^2} \cdot (2t + 1) + 2e^{2t^2}
\]

Essa é a expressão final para \( \frac{dz}{dt} \).

---

Tem alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes sobre o cálculo?

### Questões Relacionadas:

1. Como a regra da cadeia se aplica a funções de várias variáveis?
2. Qual é a interpretação geométrica de derivadas parciais?
3. Como encontrar \( \frac{d^2z}{dt^2} \) a partir da expressão obtida?
4. Como o produto de funções influencia a aplicação da regra da cadeia?
5. Quais são as aplicações da regra da cadeia em física?
6. Como determinar \( \frac{dz}{dt} \) quando \( z \) depende implicitamente de \( t \)?
7. O que acontece com a regra da cadeia quando há mais de duas variáveis dependentes?
8. Quais são as limitações da regra da cadeia em casos de funções não diferenciáveis?

**Dica:** A regra da cadeia pode ser aplicada iterativamente em casos mais complexos, como quando há várias camadas de dependência entre variáveis.

Learn how to apply the Chain Rule to find dz/dt in a complex multivariable function involving x, y, and z. Step-by-step solution with detailed derivations and examples. Suitable for advanced high school or college-level calculus students.

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