Assinale a alternativa que determina corretamente o calculo da derivada ∂z∂t
 da função z=3x2y+2xy4
, onde x=sen3t
 e y=cos2t
.

Questão 1Escolha uma opção:

a.
∂z∂t=(∂z∂x)(∂x∂t)+(∂z∂y)(∂y∂t)=(6y+2y4)(3cos(3t))+(3x2+8xy3)(−2sin(2t))=18cos(3t)xy+6cos(3t)y4−6x2sin(2t)−16xy3sin(2t)


b.
∂z∂t=(∂z∂x)(∂x∂t)+(∂z∂y)(∂y∂t)=(6xy+2y4)(3cos(3t))−(3x2+8xy3)(−2sin(4t))=8cos(3t)xy+6cos(3t)y4−6x2sin(2t)−16xy3sin(2t)


c.
∂z∂t=(∂z∂x)(∂x∂t)+(∂z∂y)(∂y∂t)=(6xy+2y4)(3cos(3t))+(3x2+8xy3)(−2sin(2t))=18cos(3t)xy+6cos(3t)y4−6x2sin(2t)+16xy3sin(2t)


d.
∂z∂t=(∂z∂x)(∂x∂t)+(∂z∂y)(∂y∂t)=(6xy+2y4)(3cos(3t))+(3x2+8xy3)(−2sin(2t))=18cos(3t)xy+6cos(3t)y4−6x2sin(2t)−16xy3sin(2t)


e.
∂z∂t=(∂z∂x)(∂x∂t)+(∂z∂y)(∂y∂t)=(6xy+2y4)(3cos(3t))+(3x2+8xy3)(2sin(2t))=18cos(3t)xy+6cos(3t)y4−6x2sin(2t)−16xy3sin(2t)

Para resolver o problema da derivada parcial \( \frac{\partial z}{\partial t} \) da função \( z = 3x^2 y + 2xy^4 \), onde \( x = \sin(3t) \) e \( y = \cos(2t) \), utilizaremos a regra da cadeia. O processo envolve encontrar as derivadas parciais de \( z \) em relação a \( x \) e \( y \), e depois multiplicá-las pelas derivadas de \( x \) e \( y \) em relação a \( t \).

### Passo 1: Derivadas parciais de \( z \)
Primeiro, derivamos \( z \) em relação a \( x \) e \( y \):

- \( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2y + 2xy^4) = 6xy + 2y^4 \)
- \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2y + 2xy^4) = 3x^2 + 8xy^3 \)

### Passo 2: Derivadas de \( x \) e \( y \) em relação a \( t \)
Agora, derivamos \( x \) e \( y \) em relação a \( t \):

- \( \frac{\partial x}{\partial t} = \frac{d}{dt} (\sin(3t)) = 3\cos(3t) \)
- \( \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{d}{dt} (\cos(2t)) = -2\sin(2t) \)

### Passo 3: Aplicação da regra da cadeia
Agora, podemos aplicar a regra da cadeia para calcular \( \frac{\partial z}{\partial t} \):

\[
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}
\]

Substituindo as derivadas:

\[
\frac{\partial z}{\partial t} = (6xy + 2y^4)(3\cos(3t)) + (3x^2 + 8xy^3)(-2\sin(2t))
\]

### Passo 4: Expansão dos termos
Agora, expandimos os termos para obter o resultado completo:

\[
\frac{\partial z}{\partial t} = 18xy\cos(3t) + 6y^4\cos(3t) - 6x^2\sin(2t) - 16xy^3\sin(2t)
\]

### Verificação das alternativas:
A alternativa correta é a **letra d**, pois ela contém os termos corretos e suas respectivas expansões:

\[
\frac{\partial z}{\partial t} = 18xy\cos(3t) + 6y^4\cos(3t) - 6x^2\sin(2t) - 16xy^3\sin(2t)
\]

---

Você tem alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes?

### Perguntas relacionadas:
1. Como se aplica a regra da cadeia em derivadas parciais?
2. Como derivar funções trigonométricas compostas?
3. Qual a diferença entre derivada parcial e derivada total?
4. Como utilizar a regra da cadeia para funções de várias variáveis?
5. Quais são as aplicações práticas da regra da cadeia em física?

### Dica:
Sempre organize seus cálculos passo a passo ao lidar com derivadas parciais e a regra da cadeia para evitar erros.

Assinale a alternativa que determina corretamente o cálculo da derivada ∂z/∂t da função z = 3x²y + 2xy⁴, onde x = sen(3t) e y = cos(2t).

Explore the step-by-step solution to calculate the partial derivative ∂z/∂t for the function z = 3x²y + 2xy⁴, where x = sin(3t) and y = cos(2t). This problem demonstrates the use of the chain rule and trigonometric derivatives, suitable for university-level calculus students.

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