* Resuelvan las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.

1) (- x ^ 4 + 2x ^ 3 + x - 3) : (x + 1)

3) (x ^ 5 + 32) : (x + 2)

2) (16x ^ 2 - 2x ^ 4 - 3x - 2) : (x + 3)

4) (1/3 x ^ 4 - 2x ^ 2 + 3) : (x + 1)

* Calculen directamente el resto de las siguientes divisiones.

1) (9x ^ 2 - 6x - 5) : (x - 1)

3)(x ^3 + 4x² - x + 1/3) : (x - 1/3)

2) (1/3 * x ^ 2 - 3x + 1) : (x + 3)

4) (- 2/3 * x ^ 4 - 1/2 * x ^ 2 + 1) : (x + 2)

* Marquen con una X las divisiones que son exactas.

1) (16 - x ^ 4) : (x+2)

3) (27 - x ^ 3) : (x + 3)

2) (x ^ 8 + a ^ 8) : (x + a)

4) (x ^ 5 + 243) : (x + 3)

muestra los resultados paso por paso

Vamos a resolver cada uno de los problemas paso a paso, aplicando la regla de Ruffini y calculando los restos correspondientes.

### Parte 1: Divisiones aplicando la regla de Ruffini

#### 1) \((-x^4 + 2x^3 + x - 3) \div (x + 1)\)
Para aplicar la regla de Ruffini, utilizamos el divisor \(x + 1\), lo que implica que \(r = -1\).

El polinomio \(P(x) = -x^4 + 2x^3 + 0x^2 + x - 3\) tiene coeficientes \([-1, 2, 0, 1, -3]\).

Aplicamos la regla de Ruffini:

\[
\begin{array}{r|rrrrr}
-1 & -1 & 2 & 0 & 1 & -3 \\
   &    & 1 & -3 & 3 & -4 \\
\hline
   & -1 & 1 & -3 & 4 & -7 \\
\end{array}
\]

**Resultado:**
\[
Q(x) = -x^3 + x^2 - 3x + 4, \quad R = -7
\]

#### 2) \((16x^2 - 2x^4 - 3x - 2) \div (x + 3)\)
Aquí, \(r = -3\). Escribimos el polinomio en orden decreciente de los exponentes:

\(P(x) = -2x^4 + 0x^3 + 16x^2 - 3x - 2\), con coeficientes \([-2, 0, 16, -3, -2]\).

Aplicamos la regla de Ruffini:

\[
\begin{array}{r|rrrrr}
-3 & -2 & 0 & 16 & -3 & -2 \\
   &    & 6 & -18 & 6 & -9 \\
\hline
   & -2 & 6 & -2 & 3 & -11 \\
\end{array}
\]

**Resultado:**
\[
Q(x) = -2x^3 + 6x^2 - 2x + 3, \quad R = -11
\]

#### 3) \((x^5 + 32) \div (x + 2)\)
Aquí, \(r = -2\).

El polinomio \(P(x) = x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 32\) tiene coeficientes \([1, 0, 0, 0, 0, 32]\).

Aplicamos la regla de Ruffini:

\[
\begin{array}{r|rrrrrr}
-2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 32 \\
   &   & -2 & 4 & -8 & 16 & -32 \\
\hline
   & 1 & -2 & 4 & -8 & 16 & 0 \\
\end{array}
\]

**Resultado:**
\[
Q(x) = x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16, \quad R = 0
\]

#### 4) \(\left(\frac{1}{3}x^4 - 2x^2 + 3\right) \div (x + 1)\)
Aquí, \(r = -1\).

El polinomio \(P(x) = \frac{1}{3}x^4 + 0x^3 - 2x^2 + 0x + 3\) tiene coeficientes \(\left[\frac{1}{3}, 0, -2, 0, 3\right]\).

Aplicamos la regla de Ruffini:

\[
\begin{array}{r|rrrrr}
-1 & \frac{1}{3} & 0 & -2 & 0 & 3 \\
   &             & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & \frac{5}{3} \\
\hline
   & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{5}{3} & \frac{14}{3} \\
\end{array}
\]

**Resultado:**
\[
Q(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{5}{3}, \quad R = \frac{14}{3}
\]

### Parte 2: Cálculo directo del resto

#### 1) \((9x^2 - 6x - 5) \div (x - 1)\)
Para encontrar el resto, evaluamos el polinomio en \(x = 1\):

\[
P(1) = 9(1)^2 - 6(1) - 5 = 9 - 6 - 5 = -2
\]

**Resto:**
\[
R = -2
\]

#### 2) \(\left(\frac{1}{3}x^2 - 3x + 1\right) \div (x + 3)\)
Evaluamos en \(x = -3\):

\[
P(-3) = \frac{1}{3}(-3)^2 - 3(-3) + 1 = \frac{9}{3} + 9 + 1 = 3 + 9 + 1 = 13
\]

**Resto:**
\[
R = 13
\]

#### 3) \(\left(x^3 + 4x^2 - x + \frac{1}{3}\right) \div (x - \frac{1}{3})\)
Evaluamos en \(x = \frac{1}{3}\):

\[
P\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 + 4\left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{27} + \frac{4}{9} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{27} + \frac{12}{27} = \frac{13}{27}
\]

**Resto:**
\[
R = \frac{13}{27}
\]

#### 4) \(\left(-\frac{2}{3}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 1\right) \div (x + 2)\)
Evaluamos en \(x = -2\):

\[
P(-2) = -\frac{2}{3}(-2)^4 - \frac{1}{2}(-2)^2 + 1 = -\frac{2}{3}(16) - \frac{1}{2}(4) + 1 = -\frac{32}{3} - 2 + 1 = -\frac{32}{3} - \frac{6}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{35}{3}
\]

**Resto:**
\[
R = -\frac{35}{3}
\]

### Parte 3: Divisiones exactas

#### 1) \((16 - x^4) \div (x + 2)\)
Evaluamos el resto:

\[
P(-2) = 16 - (-2)^4 = 16 - 16 = 0
\]

**Resultado:**
\[ \text{División exacta: } \textbf{X} \]

#### 2) \((x^8 + a^8) \div (x + a)\)
Aplicamos Ruffini para evaluar el resto:

\[
P(-a) = (-a)^8 + a^8 = a^8 + a^8 = 2a^8
\]

**Resultado:**
\[ \text{División no exacta: } \textbf{-} \]

#### 3) \((27 - x^3) \div (x + 3)\)
Evaluamos el resto:

\[
P(-3) = 27 - (-3)^3 = 27 + 27 = 54
\]

**Resultado:**
\[ \text{División no exacta: } \textbf{-} \]

#### 4) \((x^5 + 243) \div (x + 3)\)
Evaluamos el resto:

\[
P(-3) = (-3)^5 + 243 = -243 + 243 = 0
\]

**Resultado:**
\[ \text{División exacta: } \textbf{X} \]

---

### Resumen de resultados:

- **Parte 1 (Ruffini):**
    - \(1)\ Q(x) = -x^3 + x^2 - 3x + 4,\ R = -7\)
    - \(2)\ Q(x) = -2x^3 + 6x^2 - 2x + 3,\

Explore detailed solutions for polynomial division problems using Ruffini's rule. Includes step-by-step explanations for dividing polynomials, calculating remainders, and identifying exact divisions. Suitable for high school students studying algebra.

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