metodo eliminacion de gauss jordan:

9x1 + 9x2 - 7x3 = 6
-7x1 - x3 =-10
9x1 + 6x2 + 8x3 = 45

El método de eliminación de Gauss-Jordan se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Aquí te mostraré cómo aplicarlo al sistema de ecuaciones que has dado:

Sistema de ecuaciones:

\[
\begin{aligned}
1.\quad 9x_1 + 9x_2 - 7x_3 &= 6 \\
2.\quad -7x_1 - x_3 &= -10 \\
3.\quad 9x_1 + 6x_2 + 8x_3 &= 45 \\
\end{aligned}
\]

### Paso 1: Escribir la matriz aumentada

La matriz aumentada para este sistema es:

\[
\begin{pmatrix}
9 & 9 & -7 & | & 6 \\
-7 & 0 & -1 & | & -10 \\
9 & 6 & 8 & | & 45 \\
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Convertir la matriz en forma escalonada reducida (RREF)

1. **Primera fila**: Haz que el elemento de la primera columna (primer pivote) sea 1, dividiendo la primera fila entre 9:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -\frac{7}{9} & | & \frac{2}{3} \\
-7 & 0 & -1 & | & -10 \\
9 & 6 & 8 & | & 45 \\
\end{pmatrix}
\]

2. **Eliminar elementos debajo del pivote**: Usamos la primera fila para eliminar los elementos en la columna 1 (primera columna) de las otras filas.

- Para la segunda fila: \( F_2 + 7 \times F_1 \):

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -\frac{7}{9} & | & \frac{2}{3} \\
0 & 7 & -\frac{16}{9} & | & \frac{-68}{9} \\
9 & 6 & 8 & | & 45 \\
\end{pmatrix}
\]

- Para la tercera fila: \( F_3 - 9 \times F_1 \):

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -\frac{7}{9} & | & \frac{2}{3} \\
0 & 7 & -\frac{16}{9} & | & \frac{-68}{9} \\
0 & -3 & \frac{79}{9} & | & \frac{261}{9} \\
\end{pmatrix}
\]

3. **Segunda fila**: Haz que el pivote de la segunda columna sea 1, dividiendo la segunda fila entre 7:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -\frac{7}{9} & | & \frac{2}{3} \\
0 & 1 & -\frac{16}{63} & | & \frac{-68}{63} \\
0 & -3 & \frac{79}{9} & | & \frac{261}{9} \\
\end{pmatrix}
\]

4. **Eliminar elementos debajo y encima del pivote**: 

- Para la tercera fila: \( F_3 + 3 \times F_2 \):

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -\frac{7}{9} & | & \frac{2}{3} \\
0 & 1 & -\frac{16}{63} & | & \frac{-68}{63} \\
0 & 0 & \frac{325}{63} & | & \frac{395}{63} \\
\end{pmatrix}
\]

- Para la primera fila: \( F_1 - F_2 \):

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{5}{7} & | & 4 \\
0 & 1 & -\frac{16}{63} & | & \frac{-68}{63} \\
0 & 0 & \frac{325}{63} & | & \frac{395}{63} \\
\end{pmatrix}
\]

5. **Tercera fila**: Haz que el pivote de la tercera columna sea 1, dividiendo la tercera fila entre \(\frac{325}{63}\):

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{5}{7} & | & 4 \\
0 & 1 & -\frac{16}{63} & | & \frac{-68}{63} \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{395}{325} \\
\end{pmatrix}
\]

6. **Eliminar elementos arriba del pivote de la tercera fila**:

- Para la segunda fila:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{5}{7} & | & 4 \\
0 & 1 & 0 & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{79}{65} \\
\end{pmatrix}
\]

- Para la primera fila:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 5 \\
0 & 1 & 0 & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{79}{65} \\
\end{pmatrix}
\]

### Solución

\[
\begin{aligned}
x_1 &= 5 \\
x_2 &= -1 \\
x_3 &= \frac{79}{65} \approx 1.215 \\
\end{aligned}
\]

---

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso en particular o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué es una matriz escalonada?
2. ¿Cómo se diferencia la eliminación de Gauss y Gauss-Jordan?
3. ¿En qué casos se utiliza la eliminación de Gauss-Jordan?
4. ¿Cuál es la ventaja de llevar una matriz a la forma escalonada reducida?
5. ¿Qué ocurre si hay un sistema de ecuaciones inconsistente?
6. ¿Cómo interpretar soluciones infinitas en Gauss-Jordan?
7. ¿Cuál es la diferencia entre una matriz aumentada y una matriz de coeficientes?
8. ¿Se puede aplicar Gauss-Jordan en matrices no cuadradas?

### Tip:
Recuerda siempre verificar los resultados substituyendo las soluciones obtenidas en las ecuaciones originales.

Learn how to solve a system of linear equations using the Gauss-Jordan elimination method with detailed steps. This problem involves applying linear algebra concepts and techniques. Suitable for university-level students.

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