Dada  𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ∙(𝑥2 +6𝑥−15), indique su dominio, intervalos de crecimiento y de 
decrecimiento, extremos relativos y encuentre su segunda derivada. 

Para resolver el ejercicio de la función \( f(x) = e^x \cdot (x^2 + 6x - 15) \), procederemos paso a paso: 

### 1. Dominio de la función
La función es un producto de una función exponencial \( e^x \) y un polinomio \( x^2 + 6x - 15 \). 

- La función exponencial \( e^x \) está definida para todos los valores de \( x \).
- El polinomio también está definido para todos los valores de \( x \).

Por lo tanto, **el dominio de la función es todo \( \mathbb{R} \) (números reales)**.

### 2. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada \( f'(x) \).

#### Primera derivada \( f'(x) \) 
Aplicamos la regla del producto a \( f(x) = e^x \cdot (x^2 + 6x - 15) \).

\[
f'(x) = \left( e^x \right) \cdot (x^2 + 6x - 15)' + \left( e^x \right)' \cdot (x^2 + 6x - 15)
\]
Sabemos que la derivada de \( e^x \) es \( e^x \), y la derivada de \( x^2 + 6x - 15 \) es \( 2x + 6 \). Entonces:

\[
f'(x) = e^x \cdot (2x + 6) + e^x \cdot (x^2 + 6x - 15)
\]
Factorizamos el término común \( e^x \):

\[
f'(x) = e^x \left( (2x + 6) + (x^2 + 6x - 15) \right)
\]
Simplificamos dentro del paréntesis:

\[
f'(x) = e^x \left( x^2 + 8x - 9 \right)
\]

### Determinación de los intervalos
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, igualamos \( f'(x) = 0 \):

\[
e^x (x^2 + 8x - 9) = 0
\]

Dado que \( e^x \) nunca es cero, solo necesitamos resolver la ecuación cuadrática:

\[
x^2 + 8x - 9 = 0
\]

Usamos la fórmula general:

\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2}
\]

Esto nos da dos soluciones:

\[
x_1 = \frac{-8 + 10}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-8 - 10}{2} = -9
\]

Entonces, la función tiene puntos críticos en \( x = 1 \) y \( x = -9 \). Ahora analizamos el signo de la primera derivada en los intervalos determinados por estos puntos:

- Para \( x < -9 \), \( x^2 + 8x - 9 > 0 \), por lo tanto, \( f'(x) > 0 \) (crece).
- Para \( -9 < x < 1 \), \( x^2 + 8x - 9 < 0 \), por lo tanto, \( f'(x) < 0 \) (decrece).
- Para \( x > 1 \), \( x^2 + 8x - 9 > 0 \), por lo tanto, \( f'(x) > 0 \) (crece).

### 3. Extremos relativos
Los extremos relativos ocurren en los puntos donde la función cambia de creciente a decreciente o viceversa. En este caso:

- En \( x = -9 \), la función pasa de creciente a decreciente, por lo tanto, hay un **máximo relativo** en \( x = -9 \).
- En \( x = 1 \), la función pasa de decreciente a creciente, por lo tanto, hay un **mínimo relativo** en \( x = 1 \).

### 4. Segunda derivada \( f''(x) \)
Derivamos nuevamente \( f'(x) = e^x (x^2 + 8x - 9) \) usando la regla del producto:

\[
f''(x) = \left( e^x \right) \cdot (x^2 + 8x - 9)' + \left( e^x \right)' \cdot (x^2 + 8x - 9)
\]
\[
f''(x) = e^x \cdot (2x + 8) + e^x \cdot (x^2 + 8x - 9)
\]
Factorizamos nuevamente \( e^x \):

\[
f''(x) = e^x \left( (2x + 8) + (x^2 + 8x - 9) \right)
\]
\[
f''(x) = e^x \left( x^2 + 10x - 1 \right)
\]

Esta es la segunda derivada de la función.

### Resumen:
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Intervalos de crecimiento**: \( (-\infty, -9) \cup (1, \infty) \)
- **Intervalos de decrecimiento**: \( (-9, 1) \)
- **Máximo relativo**: en \( x = -9 \)
- **Mínimo relativo**: en \( x = 1 \)
- **Segunda derivada**: \( f''(x) = e^x (x^2 + 10x - 1) \)

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna duda? 

Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se interpreta geométricamente la primera derivada de una función?
2. ¿Qué sucede en los puntos donde la derivada primera es cero?
3. ¿Cómo afectan los extremos relativos a la gráfica de una función?
4. ¿Cuál es la importancia de la segunda derivada en el análisis de una función?
5. ¿Cómo podrías encontrar los puntos de inflexión de la función?

**Tip:** Al analizar el crecimiento o decrecimiento de una función, el signo de la primera derivada nos da información crucial.

𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥 ∙(𝑥^2 +6𝑥−15), indique su dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos relativos y encuentre su segunda derivada.

Resuelve el problema de la función f(x) = e^x ∙ (x^2 + 6x - 15), que incluye el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y la segunda derivada. Conoce cómo aplicar las reglas de derivación para exponenciales y polinomios. Ideal para estudiantes de cálculo de nivel secundario superior.

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