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basado en el tema 4 (documento adjunto) cual es la solucion del trabajo adjunto colade15t4?

Para resolver el trabajo que has adjuntado basado en el Tema 4 de las **Aplicaciones de las derivadas al estudio de funciones**, vamos a seguir los pasos indicados para el análisis de la función de beneficio. La función proporcionada en el trabajo es:

\[
B(x) = \frac{x^2 - 3x + 10}{x^2 - 3x - 2}
\]

### 1. **Dominio y rango de la función, asíntotas**:
- **Dominio**: La función es racional, por lo que debemos determinar cuándo el denominador es igual a cero, lo que provocaría una discontinuidad en esos puntos.
\[
x^2 - 3x - 2 = 0
\]
Resolviendo esta ecuación cuadrática:
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}
\]
Los valores de \(x\) que anulan el denominador no están definidos en el dominio de la función, por lo tanto, el dominio es todos los reales menos esos valores.

- **Rango**: Se determina gráficamente o a partir del comportamiento límite de la función.

- **Asíntotas verticales**: Los valores de \(x\) que anulan el denominador.
  
- **Asíntota horizontal**: El cociente entre los términos de mayor grado de \(x\) en el numerador y denominador da:
  \[
  \lim_{x \to \infty} B(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2} = 1
  \]
  Entonces, \(y = 1\) es una asíntota horizontal.

### 2. **Intervalos de crecimiento y decrecimiento**:
Derivamos la función \(B(x)\) usando la regla de derivación para cocientes:
\[
B'(x) = \frac{(2x - 3)(x^2 - 3x - 2) - (x^2 - 3x + 10)(2x - 3)}{(x^2 - 3x - 2)^2}
\]
Resolver la derivada para determinar los intervalos donde la derivada es positiva (crecimiento) o negativa (decrecimiento).

### 3. **Puntos críticos, máximos y mínimos**:
Se deben encontrar los puntos donde \(B'(x) = 0\) para determinar los puntos críticos. Luego, se clasificarán usando la segunda derivada o evaluando el signo de la derivada en esos puntos.

### 4. **Concavidad y puntos de inflexión**:
La concavidad se estudia utilizando la segunda derivada \(B''(x)\). Los puntos de inflexión ocurren cuando la segunda derivada se anula.

### 5. **Gráfica de la función**:
A partir de los análisis anteriores, se puede graficar la función mostrando asíntotas, crecimiento/decrecimiento y puntos críticos.

Si deseas una resolución detallada de cada paso o la gráfica de la función, avísame y podemos continuar. ¿Tienes alguna duda o te gustaría profundizar en alguno de estos puntos?

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Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el dominio de una función racional en general?
2. ¿Qué papel juega la derivada en la identificación de intervalos de crecimiento y decrecimiento?
3. ¿Qué significa que una función tenga una asíntota oblicua?
4. ¿Cómo se interpreta el comportamiento de las funciones en economía y optimización?
5. ¿Por qué es importante la concavidad en el análisis de funciones?

**Tip**: Siempre verifica los puntos de discontinuidad antes de calcular derivadas para evitar errores en el dominio de la función.

Explore the step-by-step solution to analyzing the function B(x) = (x^2 - 3x + 10) / (x^2 - 3x - 2) in the context of business profit optimization. Learn to calculate domain, range, asymptotes, intervals of growth and decay, and maximum profit points through derivatives and concavity analysis.

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