Demostrar que : ∫1xdt1+t2=∫1/x1dt1+t2

La ecuación que quieres demostrar es la siguiente:

\[
\int \frac{1}{x} \, dt \, \frac{1}{1+t^2} = \int \frac{1/x}{1} \, dt \, \frac{1}{1+t^2}
\]

Sin embargo, parece haber una ligera confusión en la notación. Asumiré que lo que deseas demostrar es que las integrales son iguales después de un cambio de variable adecuado.

La forma correcta del problema podría ser la siguiente:

Demostrar que:

\[
\int_1^x \frac{1}{1+t^2} \, dt = \int_{1/x}^1 \frac{1}{1+t^2} \, dt
\]

### Demostración

Podemos abordar esta ecuación haciendo un cambio de variable en una de las integrales. Vamos a aplicar el cambio de variable \( t' = \frac{1}{t} \) a la segunda integral.

#### Paso 1: Cambio de variable

En la segunda integral, aplicamos el cambio de variable \( t' = \frac{1}{t} \). Luego, \( dt' = -\frac{1}{t^2} \, dt \).

Por lo tanto, la integral:

\[
\int_{1/x}^1 \frac{1}{1+t^2} \, dt
\]

se convierte en:

\[
\int_x^1 \frac{1}{1+(1/t')^2} \cdot \left(-\frac{1}{t'^2}\right) \, dt'
\]

#### Paso 2: Simplificación

Ahora simplificamos la expresión dentro de la integral:

\[
\frac{1}{1+(1/t')^2} = \frac{t'^2}{t'^2 + 1}
\]

Por lo tanto, la integral se transforma en:

\[
-\int_x^1 \frac{t'^2}{(1+t'^2) t'^2} \, dt' = -\int_x^1 \frac{1}{1+t'^2} \, dt'
\]

#### Paso 3: Cambiar los límites de integración

Cambiamos los límites de integración de \( x \) a \( 1 \) para obtener:

\[
\int_1^x \frac{1}{1+t'^2} \, dt'
\]

#### Paso 4: Conclusión

Observamos que la segunda integral, después del cambio de variable, se transforma en la primera integral, lo que demuestra que:

\[
\int_1^x \frac{1}{1+t^2} \, dt = \int_{1/x}^1 \frac{1}{1+t^2} \, dt
\]

### Conclusión

La igualdad se cumple después de realizar el cambio de variable adecuado, por lo que hemos demostrado que las dos integrales son iguales.

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría una explicación más detallada?

### Preguntas Relacionadas

1. ¿Qué es un cambio de variable en el cálculo integral?
2. ¿Cómo se realiza un cambio de variable para una integral indefinida?
3. ¿Cómo afecta el cambio de límites en una integral definida?
4. ¿Qué otras transformaciones comunes se usan para resolver integrales?
5. ¿Qué aplicaciones tiene esta identidad en análisis matemático?

### Tip:
Cuando haces un cambio de variable en una integral definida, siempre debes tener en cuenta cómo se transforman los límites de integración.

Demostrar que: ∫1xdt/(1+t^2) = ∫1/x1dt/(1+t^2)

Learn how to prove the equality between two definite integrals: ∫1/(1+t^2) dt from 1 to x and from 1/x to 1. This solution covers key concepts in integral calculus, including variable substitution and the Fundamental Theorem of Calculus. Suitable for advanced high school or university students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation