sea a=(2,-3), b=(-4,7), c=(-1,6), d= (1/7, 1/2) determine las siguiente operaciones (Exprese los
resultados en la base estándar, calcule la magnitud y el ángulo respecto del semi-eje positivo x de
cada vector.) :
a) 1/2 · a
b) 7 · c
c) − 1/4 · a − 1/4 ·  d
d) 1/8 · (13) · b

Para resolver el problema, realizaremos las operaciones vectoriales y calcularemos la magnitud y el ángulo respecto del semieje positivo \(x\) de cada vector resultante.

### Definiciones y Fórmulas:

1. **Multiplicación de un vector por un escalar**: Dado un vector \( \mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle \) y un escalar \( k \), el producto escalar es:
   \[
   k \cdot \mathbf{v} = \langle k \cdot v_1, k \cdot v_2 \rangle
   \]

2. **Magnitud de un vector**: La magnitud de un vector \( \mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle \) se calcula como:
   \[
   |\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}
   \]

3. **Ángulo respecto al semieje positivo \(x\)**: El ángulo \( \theta \) se puede calcular usando la fórmula:
   \[
   \theta = \arctan\left(\frac{v_2}{v_1}\right)
   \]
   Hay que considerar el signo de \(v_1\) y \(v_2\) para determinar el cuadrante correcto.

### Cálculos:

#### a) \( \frac{1}{2} \cdot \mathbf{a} \)
\[
\mathbf{a} = \langle 2, -3 \rangle
\]
\[
\frac{1}{2} \cdot \mathbf{a} = \frac{1}{2} \cdot \langle 2, -3 \rangle = \langle 1, -1.5 \rangle
\]
**Magnitud**:
\[
|\frac{1}{2} \cdot \mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{1 + 2.25} = \sqrt{3.25} \approx 1.80
\]
**Ángulo**:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{-1.5}{1}\right) = \arctan(-1.5) \approx -56.31^\circ
\]

#### b) \( 7 \cdot \mathbf{c} \)
\[
\mathbf{c} = \langle -1, 6 \rangle
\]
\[
7 \cdot \mathbf{c} = 7 \cdot \langle -1, 6 \rangle = \langle -7, 42 \rangle
\]
**Magnitud**:
\[
|7 \cdot \mathbf{c}| = \sqrt{(-7)^2 + 42^2} = \sqrt{49 + 1764} = \sqrt{1813} \approx 42.58
\]
**Ángulo**:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{42}{-7}\right) = \arctan(-6) \approx 98.13^\circ
\]

#### c) \( -\frac{1}{4} \cdot \mathbf{a} - \frac{1}{4} \cdot \mathbf{d} \)
\[
\mathbf{d} = \langle \frac{1}{7}, \frac{1}{2} \rangle
\]
\[
-\frac{1}{4} \cdot \mathbf{a} = -\frac{1}{4} \cdot \langle 2, -3 \rangle = \langle -\frac{1}{2}, \frac{3}{4} \rangle
\]
\[
-\frac{1}{4} \cdot \mathbf{d} = -\frac{1}{4} \cdot \langle \frac{1}{7}, \frac{1}{2} \rangle = \langle -\frac{1}{28}, -\frac{1}{8} \rangle
\]
\[
-\frac{1}{4} \cdot \mathbf{a} - \frac{1}{4} \cdot \mathbf{d} = \langle -\frac{1}{2} - \frac{1}{28}, \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \rangle = \langle -\frac{14}{28} - \frac{1}{28}, \frac{6}{8} - \frac{1}{8} \rangle = \langle -\frac{15}{28}, \frac{5}{8} \rangle
\]
**Magnitud**:
\[
\left|-\frac{1}{4} \cdot \mathbf{a} - \frac{1}{4} \cdot \mathbf{d}\right| = \sqrt{\left(-\frac{15}{28}\right)^2 + \left(\frac{5}{8}\right)^2} = \sqrt{\frac{225}{784} + \frac{25}{64}} = \sqrt{\frac{225}{784} + \frac{306.25}{784}} = \sqrt{\frac{531.25}{784}} \approx 0.82
\]
**Ángulo**:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{5/8}{-15/28}\right) = \arctan\left(\frac{5}{8} \cdot \frac{28}{-15}\right) = \arctan\left(-\frac{35}{60}\right) = \arctan\left(-\frac{7}{12}\right) \approx -30.26^\circ
\]

#### d) \( \frac{1}{8} \cdot 13 \cdot \mathbf{b} \)
\[
\mathbf{b} = \langle -4, 7 \rangle
\]
\[
\frac{13}{8} \cdot \mathbf{b} = \frac{13}{8} \cdot \langle -4, 7 \rangle = \langle -\frac{52}{8}, \frac{91}{8} \rangle = \langle -6.5, 11.375 \rangle
\]
**Magnitud**:
\[
\left|\frac{13}{8} \cdot \mathbf{b}\right| = \sqrt{(-6.5)^2 + (11.375)^2} = \sqrt{42.25 + 129.14} = \sqrt{171.39} \approx 13.09
\]
**Ángulo**:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{11.375}{-6.5}\right) = \arctan\left(-1.75\right) \approx 119.74^\circ
\]

### Resumen:
- **a)** \( \frac{1}{2} \cdot \mathbf{a} = \langle 1, -1.5 \rangle \), Magnitud: \( \approx 1.80 \), Ángulo: \( \approx -56.31^\circ \)
- **b)** \( 7 \cdot \mathbf{c} = \langle -7, 42 \rangle \), Magnitud: \( \approx 42.58 \), Ángulo: \( \approx 98.13^\circ \)
- **c)** \( -\frac{1}{4} \cdot \mathbf{a} - \frac{1}{4} \cdot \mathbf{d} = \langle -\frac{15}{28}, \frac{5}{8} \rangle \), Magnitud: \( \approx 0.82 \), Ángulo: \( \approx -30.26^\circ \)
- **d)** \( \frac{13}{8} \cdot \mathbf{b} = \langle -6.5, 11.375 \rangle \), Magnitud: \( \approx 13.09 \), Ángulo: \( \approx 119.74^\circ \)

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo afecta un escalar negativo al ángulo de un vector?
2. ¿Qué representa geométricamente la magnitud de un vector?
3. ¿Qué ocurre con el ángulo si el vector se encuentra en el tercer cuadrante?
4. ¿Cómo se puede representar un vector en coordenadas polares?
5. ¿Qué relación existe entre el producto escalar y el ángulo entre dos vectores?

**Tip**: Para determinar en qué cuadrante está un vector, fíjate en el signo de sus componentes.

Explore vector operations involving scalar multiplication, magnitude calculation, and angle determination relative to the positive x-axis. Solve problems with detailed calculations and explanations. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation