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Please explain the problem in detail so that a Korean high school third grader can understand it.

문제를 고등학교 3학년 학생이 이해할 수 있도록 자세히 설명하겠습니다.

### 문제 설명:

#### 주어진 식:
문제에서는 벡터 함수 \(\vec{r}(t)\)가 주어졌습니다. 이 벡터 함수는 시간 \(t\)에 따라 위치가 어떻게 변하는지를 나타내는 함수입니다.

\[
\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} t^2 \\ 2t \\ \ln t \end{pmatrix}
\]

여기서 \(t\)는 시간, \(t^2\), \(2t\), \(\ln t\)는 각각 \(x\), \(y\), \(z\) 방향의 위치를 나타냅니다.

#### 구해야 할 것:
1. 속도 벡터 \(\vec{v}(t)\)를 구하라.
2. 가속도 벡터 \(\vec{a}(t)\)를 구하라.
3. 주어진 \(t = e\)일 때, 속도 벡터와 가속도 벡터를 구하라.

### 개념 설명:

#### 1. 속도 벡터 \(\vec{v}(t)\):
속도 벡터는 위치 벡터 \(\vec{r}(t)\)가 시간에 따라 얼마나 빨리 변하는지를 나타냅니다. 쉽게 말해, 한순간의 위치 변화량을 나타내는 것이 속도입니다. 속도 벡터를 구하기 위해서는 위치 벡터 \(\vec{r}(t)\)를 시간 \(t\)에 대해 미분하면 됩니다.

#### 2. 가속도 벡터 \(\vec{a}(t)\):
가속도 벡터는 속도 벡터가 시간에 따라 얼마나 빨리 변하는지를 나타냅니다. 가속도는 속도의 변화량을 뜻하며, 이를 구하기 위해서는 속도 벡터 \(\vec{v}(t)\)를 다시 한 번 시간 \(t\)에 대해 미분하면 됩니다.

### 문제 풀이:

#### 1. 속도 벡터 \(\vec{v}(t)\) 구하기:
\[
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} t^2 \\ \frac{d}{dt} 2t \\ \frac{d}{dt} \ln t \end{pmatrix}
\]
각 성분을 미분해 봅시다.
- \(t^2\)의 미분: \(2t\)
- \(2t\)의 미분: \(2\)
- \(\ln t\)의 미분: \(\frac{1}{t}\)

따라서 속도 벡터 \(\vec{v}(t)\)는 다음과 같이 나옵니다:
\[
\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 2 \\ \frac{1}{t} \end{pmatrix}
\]

#### 2. 가속도 벡터 \(\vec{a}(t)\) 구하기:
속도 벡터를 미분해 가속도 벡터를 구합니다.
\[
\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} 2t \\ \frac{d}{dt} 2 \\ \frac{d}{dt} \frac{1}{t} \end{pmatrix}
\]
각 성분을 미분해 봅시다.
- \(2t\)의 미분: \(2\)
- \(2\)의 미분: \(0\) (상수의 미분은 0입니다.)
- \(\frac{1}{t}\)의 미분: \(-\frac{1}{t^2}\)

따라서 가속도 벡터 \(\vec{a}(t)\)는 다음과 같이 나옵니다:
\[
\vec{a}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -\frac{1}{t^2} \end{pmatrix}
\]

#### 3. \(t = e\)에서의 속도와 가속도:
\(t = e\)를 속도와 가속도 벡터에 대입해 보겠습니다.

- 속도 벡터 \(\vec{v}(e)\):
\[
\vec{v}(e) = \begin{pmatrix} 2e \\ 2 \\ \frac{1}{e} \end{pmatrix}
\]

- 가속도 벡터 \(\vec{a}(e)\):
\[
\vec{a}(e) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -\frac{1}{e^2} \end{pmatrix}
\]

### 정리:
주어진 시간 \(t\)에 따라 위치를 나타내는 벡터 함수 \(\vec{r}(t)\)에서 속도와 가속도를 구하는 문제였습니다. 속도는 위치 벡터의 미분으로 구하고, 가속도는 속도 벡터의 미분으로 구합니다. \(t = e\)일 때의 속도와 가속도는 주어진 결과를 바탕으로 계산할 수 있습니다.

궁금한 점이나 더 알고 싶은 것이 있나요?

### 관련 질문:
1. 속도와 가속도의 개념을 어떻게 이해하면 좋을까요?
2. 벡터의 미분을 이용하여 물리학에서 어떻게 응용될 수 있을까요?
3. 벡터 함수의 다른 중요한 성질에는 무엇이 있을까요?
4. 가속도 벡터가 0이 되는 특별한 경우는 언제일까요?
5. 미분의 기본적인 원리를 물리적인 현상과 연관지어 설명할 수 있을까요?

### 팁:
수학에서 벡터의 개념을 확실히 이해하면 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 복잡한 문제를 해결하는 데 큰 도움이 됩니다. 특히, 속도와 가속도는 위치의 변화율을 분석하는 중요한 도구입니다.

Explore how to calculate velocity and acceleration vectors in vector functions. Learn about differentiation of position vectors and apply it to a given vector function problem. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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