Sea a = ⟨2, 2, 1⟩, b = ⟨4,−3, 1⟩ y c = ⟨3, 1,−2⟩. Determine las siguientes operaciones y determine el ángulo entre los vectores involucrados en cada producto (Mediante el determinante).

Para resolver el problema, primero realizaremos las operaciones vectoriales solicitadas y luego determinaremos el ángulo entre los vectores involucrados utilizando el determinante.

### 1. Operación: \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)

El producto cruz entre dos vectores \(\mathbf{a} = \langle 2, 2, 1 \rangle\) y \(\mathbf{b} = \langle 4, -3, 1 \rangle\) se calcula mediante el determinante de una matriz 3x3:

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 2 & 1 \\
4 & -3 & 1 
\end{vmatrix}
\]

Calculamos este determinante:

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 1 \cdot (-3)) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 4) + \mathbf{k}(2 \cdot (-3) - 2 \cdot 4)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(2 + 3) - \mathbf{j}(2 - 4) + \mathbf{k}(-6 - 8)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(5) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(-14)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \langle 5, 2, -14 \rangle
\]

### 2. Operación: \(\mathbf{a} \times \mathbf{c}\)

Realizamos el producto cruz entre los vectores \(\mathbf{a} = \langle 2, 2, 1 \rangle\) y \(\mathbf{c} = \langle 3, 1, -2 \rangle\):

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 2 & 1 \\
3 & 1 & -2 
\end{vmatrix}
\]

Calculamos el determinante:

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(2 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot (-2) - 1 \cdot 3) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 2 \cdot 3)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(-4 - 1) - \mathbf{j}(-4 - 3) + \mathbf{k}(2 - 6)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(-5) - \mathbf{j}(-7) + \mathbf{k}(-4)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \langle -5, 7, -4 \rangle
\]

### 3. Ángulo entre \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\), y entre \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{c}\)

El ángulo \(\theta\) entre dos vectores se puede calcular usando la fórmula:

\[
\sin(\theta) = \frac{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
\]

Primero, calculemos la magnitud de los vectores \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) y \(\mathbf{a} \times \mathbf{c}\):

\[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-14)^2} = \sqrt{25 + 4 + 196} = \sqrt{225} = 15
\]

\[
|\mathbf{a} \times \mathbf{c}| = \sqrt{(-5)^2 + 7^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 49 + 16} = \sqrt{90} \approx 9.49
\]

Ahora, las magnitudes de los vectores \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\), y \(\mathbf{c}\):

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3
\]

\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26} \approx 5.10
\]

\[
|\mathbf{c}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \approx 3.74
\]

Finalmente, calculamos el ángulo usando:

\[
\sin(\theta_{ab}) = \frac{15}{3 \times 5.10} \approx \frac{15}{15.30} \approx 0.98
\]

\[
\theta_{ab} \approx \arcsin(0.98) \approx 78.46^\circ
\]

\[
\sin(\theta_{ac}) = \frac{9.49}{3 \times 3.74} \approx \frac{9.49}{11.22} \approx 0.846
\]

\[
\theta_{ac} \approx \arcsin(0.846) \approx 57.74^\circ
\]

### Resumen:
- \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \langle 5, 2, -14 \rangle\) y el ángulo entre \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) es aproximadamente \(78.46^\circ\).
- \(\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \langle -5, 7, -4 \rangle\) y el ángulo entre \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{c}\) es aproximadamente \(57.74^\circ\).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relativas:
1. ¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 3x3 en general?
2. ¿Qué significa el resultado de un producto cruz entre dos vectores?
3. ¿Cuál es la diferencia entre el producto cruz y el producto punto?
4. ¿Cómo se interpreta el ángulo entre dos vectores en términos geométricos?
5. ¿Qué propiedades importantes tiene el producto cruz que lo diferencia de otras operaciones vectoriales?

### Tip:
Recuerda que el producto cruz de dos vectores siempre es perpendicular a ambos vectores involucrados.

Explore vector algebra with examples of cross product calculations and angle determinations using determinants. Learn how to calculate the cross product of vectors a = ⟨2, 2, 1⟩, b = ⟨4, -3, 1⟩, and c = ⟨3, 1, -2⟩, and determine the angles between these vectors.

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