quais as singularidades da função: sen(z)/z^2+pi^2

Para encontrar as singularidades da função \( f(z) = \frac{\sin(z)}{z^2 + \pi^2} \), precisamos identificar os valores de \( z \) onde a função não é analítica (ou seja, onde ela não é definida ou não é diferenciável).

### Passos para encontrar as singularidades:

1. **Denominador Igual a Zero**: 
   A função terá singularidades onde o denominador é igual a zero, pois nesses pontos a função não é definida. Vamos encontrar onde \( z^2 + \pi^2 = 0 \):

   \[
   z^2 + \pi^2 = 0
   \]

   \[
   z^2 = -\pi^2
   \]

   \[
   z = \pm i\pi
   \]

   Portanto, as singularidades ocorrem em \( z = i\pi \) e \( z = -i\pi \).

2. **Classificação das Singularidades**:
   Agora, vamos classificar essas singularidades. Para isso, precisamos verificar se são polos ou singularidades removíveis.

   - **Polo Simples**: Se ao substituir \( z = \pm i\pi \) na função, o numerador não for zero, a função terá um polo simples nesses pontos.

   Avaliando \( \sin(z) \) em \( z = \pm i\pi \):

   \[
   \sin(i\pi) = \sinh(\pi) \quad \text{e} \quad \sin(-i\pi) = -\sinh(\pi)
   \]

   Onde \( \sinh(\pi) \) é diferente de zero. Portanto, \( f(z) \) tem polos simples em \( z = i\pi \) e \( z = -i\pi \).

### Conclusão:
As singularidades da função \( f(z) = \frac{\sin(z)}{z^2 + \pi^2} \) são polos simples nos pontos \( z = i\pi \) e \( z = -i\pi \).

**Tem alguma dúvida ou quer mais detalhes?**

### Questões Relacionadas:
1. Como determinar se uma singularidade é removível, um polo ou uma singularidade essencial?
2. O que significa para uma função ter um polo simples?
3. Como encontrar os resíduos de uma função em suas singularidades?
4. Como a função \( \sin(z) \) se comporta em números complexos?
5. Como a posição dos polos afeta o comportamento de uma função complexa?

**Dica:** Para classificar uma singularidade, verifique o comportamento da função em torno do ponto onde o denominador se anula. Se o numerador não se anula nesse ponto, é um polo simples.

Explore the singularities of the complex function \( f(z) = \frac{\sin(z)}{z^2 + \pi^2} \), including the identification of poles and their classification. Learn how to determine the nature of singularities in complex analysis.

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