Pour résoudre la question 4 en détails, reprenons les informations fournies.

### Fonction donnée :
\[ g(z) = \frac{z}{e^z - 1} \]

### Question 4 :
4. **En écrivant \( g(z) = g(-z) \), montrer que \( g \) est prolongable en une fonction de classe \( C^{\infty} \) sur \( \mathbb{R} \).**

### Solution :

1. **Analyse de la symétrie de la fonction \( g(z) \) :**

   La question nous demande de montrer que \( g(z) = g(-z) \). Commençons par calculer \( g(-z) \) :

   \[
   g(-z) = \frac{-z}{e^{-z} - 1}
   \]

   Maintenant, écrivons \( e^{-z} \) en utilisant l'identité \( e^{-z} = \frac{1}{e^z} \) :

   \[
   g(-z) = \frac{-z}{\frac{1}{e^z} - 1} = \frac{-z \cdot e^z}{1 - e^z}
   \]

   Simplifions en multipliant le numérateur et le dénominateur par -1 :

   \[
   g(-z) = \frac{z \cdot e^z}{e^z - 1}
   \]

   Ceci peut être réécrit comme :

   \[
   g(-z) = \frac{z}{e^z - 1} = g(z)
   \]

   Cela prouve que \( g(z) \) est une fonction paire, c'est-à-dire que \( g(z) = g(-z) \).

2. **Prolongeabilité en une fonction \( C^{\infty} \) :**

   Une fonction \( C^{\infty} \) est une fonction qui est infiniment différentiable, c'est-à-dire que toutes ses dérivées existent et sont continues. Pour montrer que \( g(z) \) est de classe \( C^{\infty} \) sur \( \mathbb{R} \), il faut vérifier que \( g(z) \) est différentiable à tous les ordres pour tout \( z \in \mathbb{R} \).

   Puisque \( g(z) = g(-z) \), cela signifie que la série de Taylor de \( g(z) \) autour de \( z = 0 \) contient uniquement des termes en \( z^{2n} \) (c'est-à-dire uniquement des puissances paires). En effet, cela signifie que toutes les dérivées impaires de \( g(z) \) à \( z = 0 \) sont nulles. 

   Il est aussi important de noter que le terme \( e^z - 1 \) dans le dénominateur ne s'annule jamais pour des \( z \) réels non nuls, ce qui signifie que la fonction est bien définie et différentiable pour tout \( z \in \mathbb{R} \).

   Le fait que \( g(z) \) soit une fonction paire assure que ses dérivées existent partout sur \( \mathbb{R} \) et sont continues. Donc, \( g(z) \) est \( C^{\infty} \) sur \( \mathbb{R} \).

### Conclusion :
La fonction \( g(z) = \frac{z}{e^z - 1} \) est bien prolongable en une fonction de classe \( C^{\infty} \) sur \( \mathbb{R} \) parce qu'elle est paire (\( g(z) = g(-z) \)) et infiniment différentiable partout sur \( \mathbb{R} \).

### Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

### Voici 5 questions connexes :
1. Pourquoi les fonctions paires n'ont-elles que des termes de puissance paire dans leur série de Taylor ?
2. Comment montrer que la fonction \( g(z) \) est analytiquement continue sur \( \mathbb{C} \) ?
3. Quel est l'impact de la symétrie de \( g(z) \) sur la nature de ses dérivées ?
4. Comment vérifier que toutes les dérivées de \( g(z) \) sont continues sur \( \mathbb{R} \) ?
5. Quelle est la différence entre les fonctions \( C^{\infty} \) et les fonctions analytiques ?

### Astuce :
Lorsque vous travaillez avec des fonctions symétriques (paires ou impaires), utilisez la symétrie pour simplifier les calculs de séries et dérivées, en particulier lors du développement de séries de Taylor.

Explore the analysis of the function g(z) = z / (e^z - 1), showing its even symmetry and infinite differentiability. This problem involves complex analysis, Taylor series expansions, and the properties of smooth functions. Suitable for advanced undergraduate students and beyond.

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