Verificar si {(a + 2b − 3,2a − b, a + b)} es L.I. ó L.D.

Para verificar si el conjunto de vectores \(\{(a + 2b − 3, 2a − b, a + b)\}\) es linealmente independiente (L.I.) o linealmente dependiente (L.D.), debemos analizar si existe una combinación lineal de los vectores que resulte en el vector cero.

Sea el vector \(\mathbf{v} = (a + 2b − 3, 2a − b, a + b)\). Para que este vector sea linealmente dependiente, debe existir una combinación lineal tal que:

\[
c_1 \mathbf{v} = \mathbf{0}
\]

donde \(c_1\) es un escalar y \(\mathbf{0}\) es el vector cero \((0, 0, 0)\). Esto se traduce en:

\[
c_1(a + 2b - 3, 2a - b, a + b) = (0, 0, 0)
\]

Esto implica que:

\[
c_1(a + 2b - 3) = 0
\]
\[
c_1(2a - b) = 0
\]
\[
c_1(a + b) = 0
\]

Para que el conjunto sea linealmente independiente, la única solución posible debe ser \(c_1 = 0\). Esto es así porque un único vector no puede ser nulo si no es el vector cero mismo.

Dado que \(\mathbf{v} \neq (0, 0, 0)\) a menos que \(a = 3\) y \(b = 0\), podemos concluir que para cualquier valor arbitrario de \(a\) y \(b\), excepto cuando \(a = 3\) y \(b = 0\), el vector es **linealmente dependiente**. 

Por lo tanto, la respuesta es que el vector \(\mathbf{v}\) es **linealmente dependiente**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Qué condiciones específicas hacen que un conjunto de vectores sea linealmente independiente?
2. ¿Cómo se determina la independencia lineal en un conjunto con más de un vector?
3. ¿Cuál es la diferencia entre independencia lineal y dependencia lineal en términos de aplicaciones prácticas?
4. ¿Cómo afecta el espacio vectorial al determinar la independencia o dependencia de un conjunto de vectores?
5. ¿Qué relación tiene la independencia lineal con la base de un espacio vectorial?

**Tip:** Al trabajar con independencia lineal, recuerda que la clave está en comprobar si la única combinación lineal que da como resultado el vector cero es la combinación trivial.

Learn how to determine if the set of vectors {(a + 2b − 3, 2a − b, a + b)} is linearly independent (L.I.) or linearly dependent (L.D.) with a detailed explanation. This problem involves concepts from linear algebra, focusing on criteria for linear independence.

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