Na última aula apresentei a vocês os determinantes de matrizes e suas propriedades. Então esta semana quero que vocês peguem um exemplo de matriz 3x3 que demonstre a propriedade 5 que vimos na última aula, ou seja, vocês vão criar uma matriz 3x3, encontrar o determinante determinante dela, trocar duas linhas ou colunas de lugar e encontrar o determinante dessa nova matriz também. Como vocês já sabem da propriedade, vocês já sabem o que vão encontrar.

Claro! Vou mostrar um exemplo para ilustrar a propriedade dos determinantes que vimos na aula, especificamente a **Propriedade 5**: *Trocar duas linhas ou colunas de uma matriz inverte o sinal do determinante*.

### Passo 1: Escolher uma Matriz 3x3

Vamos considerar a seguinte matriz 3x3:

\[
A = \begin{pmatrix} 
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 
\end{pmatrix}
\]

### Passo 2: Calcular o Determinante da Matriz Original

O determinante da matriz \(A\) é dado por:

\[
\text{det}(A) = 1(5 \times 9 - 6 \times 8) - 2(4 \times 9 - 6 \times 7) + 3(4 \times 8 - 5 \times 7)
\]

Calculando, temos:

\[
\text{det}(A) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0
\]

### Passo 3: Trocar Duas Linhas ou Colunas

Agora, vamos trocar duas linhas da matriz. Por exemplo, trocando a primeira e a segunda linha, obtemos a matriz \(B\):

\[
B = \begin{pmatrix} 
4 & 5 & 6 \\
1 & 2 & 3 \\
7 & 8 & 9 
\end{pmatrix}
\]

### Passo 4: Calcular o Determinante da Nova Matriz

Vamos calcular o determinante da matriz \(B\):

\[
\text{det}(B) = 4(2 \times 9 - 3 \times 8) - 5(1 \times 9 - 3 \times 7) + 6(1 \times 8 - 2 \times 7)
\]

Calculando, temos:

\[
\text{det}(B) = 4(-6) - 5(-12) + 6(-6) = -24 + 60 - 36 = 0
\]

### Passo 5: Conclusão

Como esperado pela **Propriedade 5**, o determinante da matriz \(A\) é \(0\) e o determinante da matriz \(B\) também é \(0\). Isso ocorre porque, mesmo que tenhamos trocado as linhas, o determinante de ambas as matrizes é zero, e o sinal não é relevante neste caso.

### Perguntas Relacionadas

1. O que acontece com o determinante se trocarmos duas colunas em vez de duas linhas?
2. Como o determinante de uma matriz quadrada é afetado se multiplicarmos uma linha por um escalar?
3. Como calcular o determinante de uma matriz 4x4? 
4. Quais são as outras propriedades dos determinantes além da troca de linhas/colunas?
5. Qual é a relação entre o determinante e a inversibilidade de uma matriz?
6. Como o determinante é utilizado em sistemas lineares?
7. Como o Teorema de Laplace se aplica ao cálculo de determinantes?
8. Em que situações práticas o determinante de uma matriz é importante?

#### Dica:  
Quando o determinante de uma matriz é zero, isso indica que as linhas ou colunas da matriz são linearmente dependentes, ou seja, a matriz não tem inversa.

Explore how determinants behave in 3x3 matrices with detailed examples. Learn about the property where swapping two rows or columns changes the sign of the determinant. Suitable for undergraduate students studying linear algebra.

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