Vamos trabalhar com um exemplo de uma matriz 3x3 para ilustrar a propriedade 5 dos determinantes, que afirma que "se trocarmos duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz, o determinante da nova matriz será igual ao determinante original multiplicado por \(-1\)."

### Passo 1: Criar uma matriz 3x3
Vamos começar com a seguinte matriz:

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\]

### Passo 2: Calcular o determinante de \(A\)
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte maneira:

\[
\text{det}(A) = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)
\]

Vamos calcular:

\[
\text{det}(A) = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35)
\]
\[
\text{det}(A) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3)
\]
\[
\text{det}(A) = -3 + 12 - 9 = 0
\]

Portanto, \(\text{det}(A) = 0\).

### Passo 3: Trocar duas linhas ou colunas de lugar
Agora, vamos trocar a primeira e a segunda linha da matriz \(A\) para obter uma nova matriz \(B\):

\[
B = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
1 & 2 & 3 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\]

### Passo 4: Calcular o determinante de \(B\)
Agora, vamos calcular o determinante de \(B\):

\[
\text{det}(B) = 4(2 \cdot 9 - 3 \cdot 8) - 5(1 \cdot 9 - 3 \cdot 7) + 6(1 \cdot 8 - 2 \cdot 7)
\]

Calculando:

\[
\text{det}(B) = 4(18 - 24) - 5(9 - 21) + 6(8 - 14)
\]
\[
\text{det}(B) = 4(-6) - 5(-12) + 6(-6)
\]
\[
\text{det}(B) = -24 + 60 - 36 = 0
\]

Portanto, \(\text{det}(B) = 0\).

### Passo 5: Verificação da propriedade
Neste caso, ambos os determinantes são zero, portanto a troca de linhas ou colunas não altera o determinante (mas se ele fosse diferente de zero, a troca mudaria apenas o sinal). Isso ainda confirma a propriedade, já que \(0 \cdot (-1) = 0\).

---

**Você gostaria de mais detalhes sobre a resolução ou tem alguma dúvida?**

### Perguntas Relacionadas:
1. Por que o determinante dessa matriz \(A\) é zero?
2. Como seria o cálculo se trocássemos duas colunas em vez de duas linhas?
3. O que significa um determinante igual a zero em termos geométricos?
4. Como podemos encontrar uma matriz 3x3 com determinante diferente de zero para aplicar essa propriedade?
5. Qual é a justificativa matemática para a inversão de sinal ao trocar duas linhas ou colunas?
6. O que acontece com o determinante se multiplicarmos uma linha por uma constante?
7. Como o determinante está relacionado à área ou volume em geometria?
8. Como a troca de linhas afeta outros cálculos envolvendo matrizes, como a inversão?

**Dica:** Um determinante igual a zero indica que as linhas ou colunas da matriz são linearmente dependentes, o que significa que a matriz não tem inversa.

Explore the property of determinants with an example of a 3x3 matrix. Learn how swapping rows or columns affects the determinant value, illustrated with detailed calculations. Suitable for advanced high school students.

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