Na última aula apresentei a vocês os determinantes de matrizes e suas propriedades. Então esta semana quero que vocês peguem um exemplo de matriz 3x3 que demonstre a propriedade 5 que vimos na última aula, ou seja, vocês vão criar uma matriz 3x3, encontrar o determinante determinante dela, trocar duas linhas ou colunas de lugar e encontrar o determinante dessa nova matriz também. Como vocês já sabem da propriedade, vocês já sabem o que vão encontrar.

A propriedade 5 dos determinantes, mencionada por você, refere-se ao fato de que "se trocarmos duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz, o determinante da nova matriz será igual ao determinante original multiplicado por \(-1\)." Vamos seguir o passo a passo pedido para demonstrar essa propriedade.

### Passo 1: Criar uma matriz 3x3
Vamos começar com a seguinte matriz:

\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\]

### Passo 2: Calcular o determinante de \(A\)
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado usando a seguinte fórmula:

\[
\text{det}(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
\]

Aplicando para a matriz \(A\):

\[
\text{det}(A) = 2(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 3(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 1(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)
\]

Calculando:

\[
\text{det}(A) = 2(45 - 48) - 3(36 - 42) + 1(32 - 35)
\]
\[
\text{det}(A) = 2(-3) - 3(-6) + 1(-3)
\]
\[
\text{det}(A) = -6 + 18 - 3 = 9
\]

Portanto, \(\text{det}(A) = 9\).

### Passo 3: Trocar duas linhas ou colunas de lugar
Agora, vamos trocar as duas primeiras linhas da matriz \(A\) para obter uma nova matriz \(B\):

\[
B = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
2 & 3 & 1 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\]

### Passo 4: Calcular o determinante de \(B\)
Agora, vamos calcular o determinante de \(B\) usando a mesma fórmula:

\[
\text{det}(B) = 4(3 \cdot 9 - 1 \cdot 8) - 5(2 \cdot 9 - 1 \cdot 7) + 6(2 \cdot 8 - 3 \cdot 7)
\]

Calculando:

\[
\text{det}(B) = 4(27 - 8) - 5(18 - 7) + 6(16 - 21)
\]
\[
\text{det}(B) = 4(19) - 5(11) + 6(-5)
\]
\[
\text{det}(B) = 76 - 55 - 30 = -9
\]

Portanto, \(\text{det}(B) = -9\).

### Passo 5: Verificação da propriedade
Observamos que o determinante da matriz \(B\) é exatamente o oposto do determinante da matriz \(A\), ou seja:

\[
\text{det}(B) = -\text{det}(A)
\]

Isso confirma a propriedade 5, que afirma que trocar duas linhas (ou colunas) inverte o sinal do determinante.

---

**Você gostaria de mais detalhes sobre a resolução ou tem alguma dúvida?**

### Perguntas Relacionadas:
1. Como seria o cálculo se trocássemos duas colunas em vez de duas linhas?
2. Qual é a justificativa matemática para a inversão de sinal ao trocar duas linhas ou colunas?
3. Como podemos aplicar essa propriedade em matrizes maiores, por exemplo, 4x4?
4. Existe uma forma de verificar essa propriedade sem recalcular o determinante?
5. O que acontece com o determinante se trocarmos três linhas ou colunas?
6. Como o determinante muda se multiplicarmos uma linha por uma constante?
7. Existe algum caso especial em que essa propriedade não se aplica?
8. Como o determinante está relacionado à área ou volume em geometria?

**Dica:** Trocar duas linhas de uma matriz é equivalente a aplicar uma reflexão, o que altera o sinal do volume representado pela matriz.

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