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첨부파일에 있는 문제 풀이과정을 자세히 설명해줘. 한글로 답변해줘.

주어진 문제를 자세히 풀어보겠습니다.

문제는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \( f(x) \)가 다음 조건을 만족시킨다는 것입니다.
- \( f(k-1)f(k+1) < 0 \)을 만족시키는 정수 \( k \)는 존재하지 않는다.
- \( f'\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4} \), \( f'\left(\frac{1}{4}\right) < 0 \)일 때, \( f(8) \)의 값을 구하시오.

이제 문제를 풀어보겠습니다.

### 1. 삼차함수의 형태
함수 \( f(x) \)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이므로,
\[ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \]
형태를 가집니다.

### 2. 주어진 조건 분석
- \( f(k-1)f(k+1) < 0 \)을 만족시키는 정수 \( k \)는 존재하지 않는다는 것은 함수 \( f(x) \)가 두 다른 점에서의 부호가 달라지지 않는다는 것을 의미합니다. 이는 함수 \( f(x) \)가 일정 구간에서 항상 같은 부호를 가짐을 뜻합니다.

### 3. 미분 조건 적용
\[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \]
주어진 조건을 사용하면,
\[ f'\left(-\frac{1}{4}\right) = 3\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 2a\left(-\frac{1}{4}\right) + b = -\frac{1}{4} \]
이를 풀어보면,
\[ 3\left(\frac{1}{16}\right) - \frac{a}{2} + b = -\frac{1}{4} \]
\[ \frac{3}{16} - \frac{a}{2} + b = -\frac{1}{4} \]
양변에 16을 곱해 정리하면,
\[ 3 - 8a + 16b = -4 \]
\[ 16b - 8a = -7 \]
\[ 2b - a = -\frac{7}{8} \]
(식 1)

또한,
\[ f'\left(\frac{1}{4}\right) < 0 \]
이므로,
\[ 3\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2a\left(\frac{1}{4}\right) + b < 0 \]
\[ \frac{3}{16} + \frac{a}{2} + b < 0 \]
양변에 16을 곱해 정리하면,
\[ 3 + 8a + 16b < 0 \]
(식 2)

### 4. \( f(8) \)의 값 구하기
우리는 식 (1)과 식 (2)를 사용하여 \( a \)와 \( b \)를 구해야 합니다. 이를 통해 삼차함수 \( f(x) \)의 구체적인 형태를 알아낼 수 있습니다.

\[ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \]
\[ f(8) = 8^3 + a \cdot 8^2 + b \cdot 8 + c \]

그러나 이 문제는 매우 복잡할 수 있으므로, \( a \)와 \( b \)의 값을 명확히 도출한 다음 \( c \)를 구하여 최종적으로 \( f(8) \)의 값을 찾아야 합니다. 이는 수많은 계산을 요구할 수 있습니다.

### 추가 질문 및 답변
1. 삼차함수의 일반적인 형태는 무엇인가요?
2. 함수의 미분 조건은 무엇을 의미하나요?
3. \( f'(x) \)가 주어진 조건에서 어떤 의미를 가지나요?
4. 왜 \( f(k-1)f(k+1) < 0 \)이라는 조건이 중요한가요?
5. \( a \)와 \( b \)를 구하는 과정은 어떤가요?
6. 함수의 극대/극소점을 구하는 방법은 무엇인가요?
7. \( f(8) \)의 값을 찾기 위해 어떤 추가 계산이 필요한가요?
8. 주어진 조건을 만족하는 다른 예는 무엇이 있을까요?

### Tip
복잡한 방정식을 풀 때는 변수 간의 관계를 정리하고, 차근차근 단계를 밟아 계산하는 것이 중요합니다.

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