Una máquina de impresión 3D realiza una serie de movimientos para producir una pieza, por lo que sus motores cambian la rapidez de su rotación. En las especificaciones del desempeño de la máquina se encuentra una tabla de rotación vs tiempo que se sintetiza en un comportamiento descrito por la función x = 2 Sin[(0.6t-1)2], donde x es la posición de la aguja de inyección del material de impresión y t el tiempo.
a) ¿Hacia donde se mueve la aguja en el instante t = 1s?
b) Compara los instantes t = 0.5s y t = 4.5s y determina, ¿en qué instante se mueve con mayor velocidad? ¿en qué instante se mueve con mayor rapidez?
c) ¿Qué sucede en el instante de tiempo t = 3.7752s en que la gráfica llega a su máximo

Para resolver el problema relacionado con la máquina de impresión 3D, comencemos por desglosar cada una de las partes:

La posición de la aguja de inyección del material está dada por la función \( x(t) = 2 \sin\left[(0.6t - 1)^2\right] \), donde \( x \) es la posición en función del tiempo \( t \).

### a) Dirección del movimiento en \( t = 1 \) s
Para determinar hacia dónde se mueve la aguja en un instante específico, necesitamos encontrar la velocidad en ese instante, que es la derivada de la posición con respecto al tiempo:

\[
v(t) = \frac{dx}{dt}
\]

Primero, calculemos la derivada de la función \( x(t) \):

\[
v(t) = \frac{d}{dt} \left(2 \sin\left[(0.6t - 1)^2\right]\right)
\]

Usamos la regla de la cadena:

\[
v(t) = 2 \cos\left[(0.6t - 1)^2\right] \cdot \frac{d}{dt} \left[(0.6t - 1)^2\right]
\]

Ahora, derivamos la expresión dentro del seno:

\[
\frac{d}{dt} \left[(0.6t - 1)^2\right] = 2(0.6t - 1) \cdot 0.6 = 1.2(0.6t - 1)
\]

Entonces, la velocidad es:

\[
v(t) = 2 \cos\left[(0.6t - 1)^2\right] \cdot 1.2(0.6t - 1)
\]

Simplificando:

\[
v(t) = 2.4(0.6t - 1) \cos\left[(0.6t - 1)^2\right]
\]

Ahora, evaluamos la velocidad en \( t = 1 \) s:

\[
v(1) = 2.4(0.6(1) - 1) \cos\left[(0.6(1) - 1)^2\right]
\]
\[
v(1) = 2.4(0.6 - 1) \cos\left[(0.6 - 1)^2\right]
\]
\[
v(1) = 2.4(-0.4) \cos\left[(-0.4)^2\right]
\]
\[
v(1) = -0.96 \cos(0.16)
\]

Dado que \( \cos(0.16) \) es positivo, la velocidad es negativa, lo que significa que en \( t = 1 \) s la aguja se está moviendo en la dirección negativa (hacia la izquierda).

### b) Comparación de velocidades en \( t = 0.5 \) s y \( t = 4.5 \) s

Para determinar en qué instante la aguja se mueve con mayor velocidad y rapidez, evaluamos la función de velocidad en ambos tiempos.

1. Para \( t = 0.5 \) s:
   \[
   v(0.5) = 2.4(0.6(0.5) - 1) \cos\left[(0.6(0.5) - 1)^2\right]
   \]
   \[
   v(0.5) = 2.4(0.3 - 1) \cos\left[(-0.7)^2\right]
   \]
   \[
   v(0.5) = 2.4(-0.7) \cos(0.49)
   \]
   \[
   v(0.5) = -1.68 \cos(0.49)
   \]

2. Para \( t = 4.5 \) s:
   \[
   v(4.5) = 2.4(0.6(4.5) - 1) \cos\left[(0.6(4.5) - 1)^2\right]
   \]
   \[
   v(4.5) = 2.4(2.7 - 1) \cos\left[(2.7 - 1)^2\right]
   \]
   \[
   v(4.5) = 2.4(1.7) \cos(2.89)
   \]
   \[
   v(4.5) = 4.08 \cos(2.89)
   \]

Ahora comparamos los valores absolutos de estas velocidades. El mayor valor absoluto indicará la mayor rapidez:

- \( |v(0.5)| = 1.68 \cos(0.49) \)
- \( |v(4.5)| = 4.08 \cos(2.89) \)

Comparando los valores numéricos de los cosenos:
- \( \cos(0.49) \) es aproximadamente \( 0.881 \), por lo que \( |v(0.5)| \) será aproximadamente \( 1.48 \).
- \( \cos(2.89) \) es aproximadamente \( -0.969 \), lo que hace que \( |v(4.5)| \) sea aproximadamente \( 3.95 \).

**Conclusión:** La aguja se mueve con mayor velocidad (y rapidez) en \( t = 4.5 \) s.

### c) Comportamiento en \( t = 3.7752 \) s cuando la gráfica alcanza su máximo

El máximo de la gráfica de la posición implica que la velocidad en ese punto es cero. Es decir, en \( t = 3.7752 \) s:

\[
v(3.7752) = 0
\]

En este instante, la aguja se detiene momentáneamente antes de cambiar de dirección, dado que se encuentra en un punto de inflexión.

---

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Qué indica un cambio de signo en la velocidad?
2. ¿Cómo afecta el término \(\cos[(0.6t - 1)^2]\) en la magnitud de la velocidad?
3. ¿Qué significa la rapidez en el contexto de movimiento unidimensional?
4. ¿Cómo se comporta la función \( x(t) \) en tiempos muy grandes?
5. ¿Qué diferencia hay entre velocidad y rapidez?

**Tip:** Recuerda que la velocidad es una cantidad vectorial, por lo que su signo indica la dirección del movimiento.

Explore the motion of a 3D printing needle described by the function x = 2 sin[(0.6t - 1)^2], analyzing its velocity, direction, and acceleration at specific time points. This detailed analysis covers advanced trigonometric concepts and their application in engineering.

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