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La expresión que se nos da es:

\[
\sqrt[5]{\frac{7p^{10}q}{q^{-12}}}
\]

### Paso 1: Simplificar el exponente de \( q \)

La expresión en el numerador es \( q \) y en el denominador tenemos \( q^{-12} \). Entonces:

\[
\frac{q}{q^{-12}} = q^{1 - (-12)} = q^{1 + 12} = q^{13}
\]

Por lo tanto, la expresión se convierte en:

\[
\sqrt[5]{7p^{10}q^{13}}
\]

### Paso 2: Aplicar la raíz quinta a cada término

Ahora aplicamos la propiedad de la raíz sobre productos y potencias:

\[
\sqrt[5]{7p^{10}q^{13}} = \sqrt[5]{7} \cdot \sqrt[5]{p^{10}} \cdot \sqrt[5]{q^{13}}
\]

Desglosamos cada término:

- \( \sqrt[5]{7} \) no se puede simplificar más.
- \( \sqrt[5]{p^{10}} = p^{\frac{10}{5}} = p^2 \).
- \( \sqrt[5]{q^{13}} = q^{\frac{13}{5}} \).

Por lo tanto, la expresión completa es:

\[
p^2q^{\frac{13}{5}} \sqrt[5]{7}
\]

### Paso 3: Comparar con las opciones

La opción correcta es:

**b) \( \frac{p^2}{q^2} \sqrt[5]{7q^3} \)**.

Esta opción se obtiene porque \( q^{\frac{13}{5}} = q^2 \cdot q^{\frac{3}{5}} \), que coincide con \( \frac{p^2}{q^2} \sqrt[5]{7q^3} \).

---

¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se simplifican exponentes con bases iguales?
2. ¿Qué propiedades de las raíces y exponentes se usan en esta simplificación?
3. ¿Cómo se desglosan raíces de potencias en fracciones?
4. ¿Cómo se maneja la división de exponentes en expresiones con raíces?
5. ¿Qué otra propiedad de las raíces podría ser útil en problemas similares?

**Tip:** Recuerda siempre simplificar los exponentes primero antes de aplicar la raíz para evitar errores.

La expresión \( \sqrt[5]{\frac{7p^{10}q}{q^{-12}}} \) se reduce a:

Aprende cómo simplificar la expresión \( \sqrt[5]{\frac{7p^{10}q}{q^{-12}}} \) utilizando las propiedades de los radicales y las leyes de los exponentes. Este problema es adecuado para estudiantes en los grados 10-12.

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