Dado el conjunto A = {2, 3, 5, 6, 10, 26} y la relación
R = {(x, y) | y = 𝑥2 + 1 }. Represente gráficamente R por medio de:
a. Un plano cartesiano
b. Una matriz de relación
c. Un dígrafo

Dado el conjunto \( A = \{2, 3, 5, 6, 10, 26\} \) y la relación \( R = \{(x, y) | y = x^2 + 1\} \), procederemos a representar gráficamente la relación \( R \) en tres formas: un plano cartesiano, una matriz de relación y un dígrafo.

### 1. Plano Cartesiano

Para representar la relación \( R \) en el plano cartesiano, debemos calcular los valores de \( y \) para cada valor de \( x \) en el conjunto \( A \), utilizando la ecuación \( y = x^2 + 1 \).

Los cálculos para cada \( x \) en \( A \) son los siguientes:
- Para \( x = 2 \): \( y = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \)
- Para \( x = 3 \): \( y = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \)
- Para \( x = 5 \): \( y = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26 \)
- Para \( x = 6 \): \( y = 6^2 + 1 = 36 + 1 = 37 \)
- Para \( x = 10 \): \( y = 10^2 + 1 = 100 + 1 = 101 \)
- Para \( x = 26 \): \( y = 26^2 + 1 = 676 + 1 = 677 \)

Por lo tanto, la relación \( R \) está definida por los pares:

\[
R = \{(2, 5), (3, 10), (5, 26), (6, 37), (10, 101), (26, 677)\}
\]

Para el gráfico, trazaremos estos puntos en un plano cartesiano, con \( x \) en el eje horizontal y \( y \) en el eje vertical.

### 2. Matriz de Relación

La matriz de relación se construye tomando el conjunto \( A \) tanto como dominio (filas) como codominio (columnas). Para cada par \( (x, y) \) de la relación, marcamos una "1" si \( y = x^2 + 1 \), y "0" en caso contrario.

El conjunto \( A = \{2, 3, 5, 6, 10, 26\} \) define las filas y columnas de la matriz. Dado que solo algunos valores de \( y \) coinciden con elementos del conjunto \( A \), la matriz será:

\[
M_R = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

- \( M_{12} = 1 \) porque \( (2, 5) \in R \).
- \( M_{23} = 1 \) porque \( (3, 10) \in R \).
- \( M_{35} = 1 \) porque \( (5, 26) \in R \).
- Los demás valores son 0 ya que no cumplen la relación \( y = x^2 + 1 \).

### 3. Dígrafo

El dígrafo es una representación gráfica donde los elementos de \( A \) son los nodos y las flechas entre nodos representan los pares ordenados de la relación \( R \).

En este caso, dibujamos nodos para los elementos \( 2, 3, 5, 6, 10, 26 \) y trazamos flechas entre los nodos \( x \) y \( y \) cuando \( y = x^2 + 1 \). Según la relación \( R \), las flechas serán:

- Flecha de \( 2 \) a \( 5 \)
- Flecha de \( 3 \) a \( 10 \)
- Flecha de \( 5 \) a \( 26 \)

No hay más flechas, ya que los otros valores de \( y \) no están en \( A \).

¿Te gustaría una representación gráfica visual para estos? O bien, ¿tienes alguna pregunta sobre lo que hemos hecho hasta ahora?

---

Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas con este tema:

1. ¿Qué sucede si agregamos más elementos al conjunto \( A \)?
2. ¿Cómo cambia la matriz de relación si cambiamos la relación a \( y = x^2 - 1 \)?
3. ¿Cómo se puede interpretar el dígrafo si incluimos otros tipos de relaciones?
4. ¿Qué pasaría si el conjunto \( A \) incluye más números que no sean enteros?
5. ¿Es posible representar gráficamente una relación que no sea funcional?

**Tip:** Al estudiar relaciones, es útil analizar si son reflexivas, simétricas o transitivas, ya que estas propiedades influyen en la representación gráfica.

Dado el conjunto A = {2, 3, 5, 6, 10, 26} y la relación R = {(x, y) | y = x^2 + 1 }. Represente gráficamente R por medio de: a. Un plano cartesiano b. Una matriz de relación c. Un dígrafo

Explore how to represent the relation R = {(x, y) | y = x^2 + 1} for the set A = {2, 3, 5, 6, 10, 26} using a Cartesian plane, relation matrix, and digraph. This problem covers set theory, matrix operations, and graphical representations, suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation