ESTUDIANTE A
1. Dados los conjuntos M = {x ∣ x ∈ N, 2<x<14} y O = {x ∣ x=2n+1, n ∈ N,
0<n<6}, N conjunto de los números naturales
a. Determine por extensión cada conjunto
b. Encuentre la relación R = {(x, y) ∈ M x O | x = 2y+1}
c. Muestre el dominio, codominio y rango de la relación.
2. Dado el conjunto A = {2, 3, 5, 6, 10, 26} y la relación
R = {(x, y) | y = 𝑥2 + 1 }. Represente gráficamente R por medio de:
a. Un plano cartesiano
b. Una matriz de relación
c. Un dígrafo
3. Explique las condiciones para que una relación binaria R, sea relación de
equivalencia y verifique si la relación “clasificación de objetos por color” es
relación de equivalencia.
4. Con un ejemplo particular. Utilizando diagramas de Venn, explique, el
concepto de función y la clasificación de funciones, inyectiva, sobreyectiva y
biyectiva.

Vamos a abordar cada una de las partes de tus problemas de matemáticas de forma detallada:

### 1. Conjuntos y Relaciones

#### a. Determinación por extensión de cada conjunto

- **Conjunto \( M \)**:
  \( M = \{ x \in \mathbb{N} \mid 2 < x < 14 \} \)
  El conjunto \( M \) incluye los números naturales entre 2 y 14, excluyendo el 2 y el 14:
  \[ M = \{ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 \} \]

- **Conjunto \( O \)**:
  \( O = \{ x \mid x = 2n + 1, n \in \mathbb{N}, 0 < n < 6 \} \)
  Aquí, \( n \) toma valores en el conjunto de los números naturales entre 1 y 5:
  \[ n = 1 \implies x = 2(1) + 1 = 3 \]
  \[ n = 2 \implies x = 2(2) + 1 = 5 \]
  \[ n = 3 \implies x = 2(3) + 1 = 7 \]
  \[ n = 4 \implies x = 2(4) + 1 = 9 \]
  \[ n = 5 \implies x = 2(5) + 1 = 11 \]
  Por lo tanto:
  \[ O = \{ 3, 5, 7, 9, 11 \} \]

#### b. Relación \( R = \{(x, y) \in M \times O \mid x = 2y + 1\} \)

Para encontrar los pares \((x, y)\) que satisfacen \( x = 2y + 1 \):
- \( y = 3 \implies x = 2(3) + 1 = 7 \) (y 7 está en \( M \))
- \( y = 5 \implies x = 2(5) + 1 = 11 \) (y 11 está en \( M \))
- \( y = 7 \implies x = 2(7) + 1 = 15 \) (pero 15 no está en \( M \))
- \( y = 9 \implies x = 2(9) + 1 = 19 \) (pero 19 no está en \( M \))
- \( y = 11 \implies x = 2(11) + 1 = 23 \) (pero 23 no está en \( M \))

Por lo tanto, la relación \( R \) es:
\[ R = \{(7, 3), (11, 5)\} \]

#### c. Dominio, codominio y rango de la relación

- **Dominio (Dom(R))**: El conjunto de todas las primeras componentes de los pares en \( R \):
  \[ \text{Dom}(R) = \{ 7, 11 \} \]

- **Codominio**: El conjunto \( O \):
  \[ \text{Codom}(R) = \{ 3, 5, 7, 9, 11 \} \]

- **Rango (Rng(R))**: El conjunto de todas las segundas componentes de los pares en \( R \):
  \[ \text{Rng}(R) = \{ 3, 5 \} \]

### 2. Gráfica y Representación de una Relación

#### Dado el conjunto \( A = \{ 2, 3, 5, 6, 10, 26 \} \) y la relación \( R = \{(x, y) \mid y = x^2 + 1 \} \)

Vamos a calcular los pares \((x, y)\):
- \( x = 2 \implies y = 2^2 + 1 = 5 \)
- \( x = 3 \implies y = 3^2 + 1 = 10 \)
- \( x = 5 \implies y = 5^2 + 1 = 26 \)
- \( x = 6 \implies y = 6^2 + 1 = 37 \)
- \( x = 10 \implies y = 10^2 + 1 = 101 \)
- \( x = 26 \implies y = 26^2 + 1 = 677 \)

Por lo tanto:
\[ R = \{(2, 5), (3, 10), (5, 26), (6, 37), (10, 101), (26, 677) \} \]

#### a. Plano cartesiano

La representación gráfica en un plano cartesiano sería:

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
2 & 5 \\
3 & 10 \\
5 & 26 \\
6 & 37 \\
10 & 101 \\
26 & 677 \\
\end{array}
\]

#### b. Matriz de relación

La matriz de relación \( M_R \) (donde las filas representan \( x \) y las columnas \( y \)):

\[
M_R =
\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
3 & 10 \\
5 & 26 \\
6 & 37 \\
10 & 101 \\
26 & 677 \\
\end{pmatrix}
\]

#### c. Dígrafo

El dígrafo tendría los nodos representando los elementos de \( A \) y las aristas dirigiéndose de \( x \) a \( y \) según la relación \( R \).

### 3. Relación de Equivalencia

Una relación \( R \) en un conjunto \( A \) es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
- **Reflexiva**: \( \forall a \in A, (a, a) \in R \)
- **Simétrica**: \( \forall a, b \in A, (a, b) \in R \implies (b, a) \in R \)
- **Transitiva**: \( \forall a, b, c \in A, (a, b) \in R \land (b, c) \in R \implies (a, c) \in R \)

La relación "clasificación de objetos por color" es una relación de equivalencia porque:
- **Reflexiva**: Cualquier objeto tiene el mismo color que sí mismo.
- **Simétrica**: Si un objeto \( A \) es del mismo color que un objeto \( B \), entonces \( B \) es del mismo color que \( A \).
- **Transitiva**: Si un objeto \( A \) es del mismo color que \( B \), y \( B \) es del mismo color que \( C \), entonces \( A \) es del mismo color que \( C \).

### 4. Funciones y Clasificación

#### Concepto de Función
Una función \( f \) de un conjunto \( A \) a un conjunto \( B \) es una relación que asigna a cada elemento de \( A \) exactamente un elemento de \( B \).

#### Clasificación de Funciones
- **Inyectiva (Inyectiva)**: Una función \( f: A \to B \) es inyectiva si \( \forall a_1, a_2 \in A, f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2 \). Es decir, cada elemento de \( B \) es imagen de a lo sumo un elemento de \( A \).

- **Sobreyectiva (Sobreyección)**: Una función \( f: A \to B \) es sobreyectiva si \( \forall b \in B, \exists a \in A \mid f(a) = b \). Es decir, cada elemento de \( B \) es imagen de al menos un elemento de \( A \).

- **Biyectiva (Biyectiva)**: Una función \( f: A \to B \) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente. Es decir, cada elemento de \( B \) es imagen de exactamente un elemento de \( A \).

#### Ejemplo y Diagramas de Venn

Considera los conjuntos:
\[ A = \{ 1, 2, 3 \} \]
\[ B = \{ a, b, c \} \]

- Una función inyectiva puede ser \( f: A \to B \) con \( f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c \).
- Una función sobreyectiva puede ser \( g: A \to B \) con \( g(1) = a, g(2) = b, g(3) = a \).
- Una función biyectiva puede ser \( h: A \to B \) con \( h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c \).

En diagramas de Venn:
- La inyectividad se muestra al no tener flechas apuntando a un mismo elemento en \( B \) desde diferentes elementos en

ESTUDIANTE A
1. Dados los conjuntos M = {x ∣ x ∈ N, 2<x<14} y O = {x ∣ x=2n+1, n ∈ N, 0<n<6}, N conjunto de los números naturales
a. Determine por extensión cada conjunto
b. Encuentre la relación R = {(x, y) ∈ M x O | x = 2y+1}
c. Muestre el dominio, codominio y rango de la relación.
2. Dado el conjunto A = {2, 3, 5, 6, 10, 26} y la relación R = {(x, y) | y = 𝑥^2 + 1 }. Represente gráficamente R por medio de:
a. Un plano cartesiano
b. Una matriz de relación
c. Un dígrafo
3. Explique las condiciones para que una relación binaria R, sea relación de equivalencia y verifique si la relación “clasificación de objetos por color” es relación de equivalencia.
4. Con un ejemplo particular. Utilizando diagramas de Venn, explique, el concepto de función y la clasificación de funciones, inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Explore set theory with the sets M and O, discover the relationship R = {(x, y) ∈ M x O | x = 2y+1}, and analyze the domain, codomain, and range. Learn about equivalence relations and classification of functions with detailed examples and representations through graphs, matrices, and Venn diagrams.

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