porque no usa la formula f(x1+Δx)-f(x1)/Δx

La fórmula que mencionas, \( \frac{f(x_1 + \Delta x) - f(x_1)}{\Delta x} \), es en realidad la definición del **límite de la derivada** o la **tasa de cambio promedio** de una función entre dos puntos. Se utiliza para calcular la derivada de una función en un punto específico \( x_1 \) cuando \( \Delta x \) tiende a cero. Es una manera fundamental de definir la derivada desde una perspectiva límite.

### Explicación más detallada:

1. **Definición de Derivada**:
   La derivada de una función \( f(x) \) en un punto \( x_1 \) se define como el límite cuando \( \Delta x \) (un pequeño incremento en \( x \)) tiende a cero:
   \[
   f'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_1 + \Delta x) - f(x_1)}{\Delta x}
   \]
   Esta expresión proporciona la pendiente de la tangente a la curva en el punto \( x_1 \).

2. **Por qué no se usó directamente**:
   En este caso, no se utilizó la definición de la derivada directamente porque ya conocemos la fórmula general para derivar funciones polinómicas (en este caso, la función cuadrática \( f(x) = 4 - x^2 \)). Aplicar reglas de derivación es una forma más rápida y directa de encontrar la pendiente de la tangente, en lugar de pasar por el proceso de calcular el límite desde la definición.

3. **Aplicación práctica**:
   Si usáramos la fórmula que proporcionaste, tendríamos que hacer lo siguiente:
   - Evaluar \( f(x_1 + \Delta x) \) y \( f(x_1) \).
   - Restar estos valores y dividir por \( \Delta x \).
   - Finalmente, tomar el límite cuando \( \Delta x \) tiende a cero.

   Para \( f(x) = 4 - x^2 \) en \( x_1 = 3 \), haríamos:
   \[
   f(x_1 + \Delta x) = 4 - (3 + \Delta x)^2
   \]
   \[
   f(x_1) = 4 - 3^2 = -5
   \]
   Luego, calcularíamos:
   \[
   \frac{f(3 + \Delta x) - (-5)}{\Delta x}
   \]
   Y finalmente tomar el límite cuando \( \Delta x \) tiende a 0 para obtener la derivada.

### Resumen:
Aunque la fórmula de la derivada como límite es fundamental y muy útil para entender el concepto de derivada, en la práctica usamos reglas de derivación cuando estas están disponibles, ya que simplifican el cálculo y son más rápidas.

¿Te gustaría ver un ejemplo de cómo usar esta fórmula límite en detalle?

---

1. ¿Cómo se deriva una función polinómica usando el concepto de límite?
2. ¿Cuál es el significado geométrico de la derivada como un límite?
3. ¿Qué otros métodos existen para calcular derivadas?
4. ¿Cómo se puede usar la definición de la derivada para funciones no polinómicas?
5. ¿Cuándo es más útil aplicar la definición del límite para encontrar derivadas?

**Tip:** Entender la derivada desde su definición como un límite es crucial para comprender a fondo el concepto de tasa de cambio instantánea y cómo se deriva su cálculo.

Explore the limit definition of derivative in calculus through the formula f(x1+Δx)-f(x1)/Δx. This detailed explanation covers the foundational concept of derivatives, focusing on how to calculate the derivative of a function at a specific point using limits. Suitable for advanced high school students and calculus enthusiasts.

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