enseñame como hacer esta funcion h(x) = raiz de x al cuadrado - 9

La función que mencionas es \( h(x) = \sqrt{x^2 - 9} \). Vamos a desglosar el proceso de cómo trabajar con esta función.

### Paso 1: Comprender la función
La función \( h(x) \) está definida como la raíz cuadrada de \( x^2 - 9 \). Para que esta función tenga sentido, la expresión dentro de la raíz cuadrada \( x^2 - 9 \) debe ser mayor o igual a 0 (ya que no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo en los números reales).

### Paso 2: Determinar el dominio de la función
Para encontrar el dominio de \( h(x) \), resolvemos la desigualdad:
\[
x^2 - 9 \geq 0
\]
Sumamos 9 en ambos lados:
\[
x^2 \geq 9
\]
Ahora, sacamos la raíz cuadrada en ambos lados (recordando que debe considerarse tanto la raíz positiva como la negativa):
\[
|x| \geq 3
\]
Esto implica que \( x \) debe ser mayor o igual a 3, o menor o igual a -3. En notación de intervalo, el dominio de \( h(x) \) es:
\[
x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)
\]

### Paso 3: Simplificar la función
Si \( x \) es mayor o igual a 3 o menor o igual a -3, podemos simplificar la raíz cuadrada dependiendo del valor de \( x \):
\[
h(x) = \sqrt{x^2 - 9}
\]

- Si \( x \geq 3 \), la función simplifica a:
  \[
  h(x) = \sqrt{(x-3)(x+3)}
  \]

- Si \( x \leq -3 \), como \( x^2 - 9 \) es positivo, la expresión también simplifica de la misma forma.

### Paso 4: Gráfica de la función
La función \( h(x) \) se puede representar gráficamente, y tendría dos ramas:

- **Para \( x \geq 3 \)**: la gráfica es una curva creciente.
- **Para \( x \leq -3 \)**: la gráfica es simétrica con respecto al eje y, también curva creciente.

### Paso 5: Comportamiento de la función
La función nunca toma valores negativos porque la raíz cuadrada de cualquier número no negativo siempre es no negativa. Además, \( h(x) = 0 \) cuando \( x = 3 \) o \( x = -3 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas para profundizar:

1. ¿Cómo se comporta la función cuando \( x \) se aproxima a \( 3 \) desde la izquierda y desde la derecha?
2. ¿Cómo se comporta la función cuando \( x \) tiende a \( \infty \) o a \( -\infty \)?
3. ¿Cómo podría resolverse la desigualdad \( h(x) \geq k \), donde \( k \) es una constante?
4. ¿Cómo afecta la traslación vertical \( h(x) = \sqrt{x^2 - 9} + c \) a la gráfica de la función?
5. ¿Qué ocurre si consideramos la función sin la raíz cuadrada, es decir, \( g(x) = x^2 - 9 \)?

**Tip**: Al trabajar con raíces cuadradas, siempre verifica que el radicando sea no negativo para asegurar que la función esté definida en los números reales.

Explore how to understand and graph the function h(x) = sqrt(x^2 - 9) step-by-step. Learn about its domain and range, simplification techniques, and graph behavior. Suitable for high school students.

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