El dominio de la función f(x)=x2−2x+1x2−9−−−−−√
 es:

Para determinar el dominio de la función \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{\sqrt{x^2 - 9}} \), debemos identificar los valores de \( x \) para los cuales la función está bien definida. Esto significa que debemos considerar dos condiciones:

1. **El denominador no puede ser igual a cero**, ya que la división por cero no está definida.
2. **La expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser no negativa** (es decir, mayor o igual a cero), porque la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en el conjunto de los números reales.

### Paso 1: Estudiar la raíz cuadrada en el denominador

La función tiene una raíz cuadrada en el denominador: \( \sqrt{x^2 - 9} \). Para que la raíz cuadrada esté definida, necesitamos que:

\[
x^2 - 9 \geq 0
\]

Esto implica:

\[
x^2 \geq 9
\]

Al resolver esta desigualdad:

\[
x \leq -3 \quad \text{o} \quad x \geq 3
\]

Por lo tanto, \( x \) debe ser menor o igual a \(-3\) o mayor o igual a \(3\).

### Paso 2: Asegurar que el denominador no sea cero

Además, necesitamos que el denominador no sea igual a cero, lo que significa que:

\[
\sqrt{x^2 - 9} \neq 0
\]

Esto ocurre cuando:

\[
x^2 - 9 \neq 0
\]

\[
x^2 \neq 9
\]

Esto significa que \( x \neq 3 \) y \( x \neq -3 \).

### Paso 3: Determinar el dominio

Combina las dos condiciones:

- \( x \leq -3 \) o \( x \geq 3 \)
- \( x \neq -3 \) y \( x \neq 3 \)

Por lo tanto, el dominio de la función \( f(x) \) es:

\[
\boxed{(-\infty, -3) \cup (3, \infty)}
\]

Esto significa que \( x \) puede tomar cualquier valor menor que \(-3\) o mayor que \(3\), pero no puede ser exactamente \(-3\) ni \(3\).

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría ver más detalles?

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo encontrar el dominio de una función con raíces cuadradas?
2. ¿Qué significa que una función esté definida en un cierto dominio?
3. ¿Cómo afectan las restricciones del dominio a la gráfica de una función?
4. ¿Qué sucede con el dominio de una función si tiene fracciones y raíces al mismo tiempo?
5. ¿Cómo resolver desigualdades cuadráticas para encontrar el dominio?

**Tip:** Siempre que tengas una raíz cuadrada o un denominador, verifica cuidadosamente las restricciones que imponen sobre el dominio.

Explore the domain of the function f(x) = (x^2 - 2x + 1) / sqrt(x^2 - 9) with detailed steps and explanations. Learn how to determine the valid input values for the function to be well-defined. Suitable for advanced high school students and college-level learners.

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