tengo esta funcion: INF(t) - (b1_inf * 100 * ((PIBNM(t)/YPOT(t)) - 1) +  b2_inf * INF(t-1) + b3_inf * (datos$lnTCR(t-1) - log(100)) * 100 + b4_inf * INF(t+1))
Aqui vemos que INF en el periodo t depende entre otras cosas de INF(t+1), es decir del siguiente periodo y el siguiente por tanto del subsiguiente, hay alguna manera de reecribir esta ecuacion como una sumatoria? y despues aplicar sumatoria geometrica, me entiendes??



¡Sí, entiendo lo que estás intentando hacer! La función que presentas tiene una estructura que involucra la inflación $ INF(t) $ en el periodo $ t $, pero también depende de la inflación en el siguiente periodo $ t+1 $, lo que genera una relación de retroalimentación entre periodos. Para simplificar este tipo de ecuaciones dinámicas, se puede intentar reescribir la ecuación como una serie o sumatoria y, si es posible, aplicar la fórmula de una serie geométrica.

Primero, tu ecuación es:

\[
INF(t) = b1\_inf \cdot 100 \cdot \left( \frac{PIBNM(t)}{YPOT(t)} - 1 \right) + b2\_inf \cdot INF(t-1) + b3\_inf \cdot \left( \ln(TCR(t-1)) - \ln(100) \right) \cdot 100 + b4\_inf \cdot INF(t+1)
\]

El término problemático para resolver esta ecuación es $ b4\_inf \cdot INF(t+1) $, ya que introduce una dependencia de $ t+1 $, lo que implica que la inflación en el periodo $ t $ depende de la inflación en el futuro, y este futuro depende a su vez de periodos más adelante.

### Paso 1: Aislar $ INF(t) $

Lo primero es intentar aislar el $ INF(t) $ para obtenerlo en términos de otros valores.

\[
INF(t) - b4\_inf \cdot INF(t+1) = b1\_inf \cdot 100 \cdot \left( \frac{PIBNM(t)}{YPOT(t)} - 1 \right) + b2\_inf \cdot INF(t-1) + b3\_inf \cdot \left( \ln(TCR(t-1)) - \ln(100) \right) \cdot 100
\]

Aislamos $ INF(t) $:

\[
INF(t) = \frac{b1\_inf \cdot 100 \cdot \left( \frac{PIBNM(t)}{YPOT(t)} - 1 \right) + b2\_inf \cdot INF(t-1) + b3\_inf \cdot \left( \ln(TCR(t-1)) - \ln(100) \right) \cdot 100}{1 - b4\_inf}
\]

### Paso 2: Reemplazar $ INF(t+1) $ en la ecuación original

Ahora, dado que $ INF(t+1) $ sigue la misma estructura que $ INF(t) $, podemos escribir $ INF(t+1) $ en función de $ INF(t+2) $:

\[
INF(t+1) = \frac{b1\_inf \cdot 100 \cdot \left( \frac{PIBNM(t+1)}{YPOT(t+1)} - 1 \right) + b2\_inf \cdot INF(t) + b3\_inf \cdot \left( \ln(TCR(t)) - \ln(100) \right) \cdot 100}{1 - b4\_inf}
\]

De este modo, podrías reemplazar $ INF(t+1) $ en la ecuación original de $ INF(t) $, lo cual te permitiría obtener una fórmula recursiva que depende de $ INF(t+2) $, y así sucesivamente. En teoría, podrías seguir haciendo estas sustituciones hasta que alcances una serie infinita en $ t $, si es que quieres convertir la ecuación en una sumatoria.

### Paso 3: Expresión como sumatoria

Dado que cada periodo siguiente introduce un término recursivo adicional, podríamos intentar expresar esta relación como una serie. Si seguimos el proceso de sustitución, obtenemos una estructura de sumatoria:

\[
INF(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{b4\_inf^n \cdot \left( b1\_inf \cdot 100 \cdot \left( \frac{PIBNM(t+n)}{YPOT(t+n)} - 1 \right) + b2\_inf \cdot INF(t-1+n) + b3\_inf \cdot \left( \ln(TCR(t-1+n)) - \ln(100) \right) \cdot 100 \right)}{(1 - b4\_inf)^{n+1}}
\]

Este tipo de expresión es bastante compleja, pero te da una estructura en la que puedes ver cómo la inflación en el periodo actual se puede expresar como una sumatoria infinita que involucra los periodos futuros, multiplicada por potencias de $ b4\_inf $.

### Paso 4: Serie geométrica (si $ b4\_inf $ es constante)

Si $ b4\_inf $ es una constante menor a 1, podemos intentar simplificar la sumatoria utilizando la fórmula de la suma de una serie geométrica. La suma de una serie geométrica infinita es:

\[
S = \frac{a}{1 - r}
\]

Donde $ a $ es el primer término y $ r $ es la razón. Si los términos de $ INF(t+1), INF(t+2) $, etc., siguen una estructura regular, podrías aplicar esta fórmula para simplificar la sumatoria.

¿Te gustaría ver más detalles sobre cómo aplicar la serie geométrica o tienes alguna otra pregunta sobre cómo proceder? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué valores esperas para $ b4\_inf $ y otros coeficientes? Esto ayuda a ver si la convergencia es válida.
2. ¿Te gustaría una simplificación más concreta para un número limitado de periodos (por ejemplo, $ t+2 $ o $ t+3 $)?
3. ¿Estás buscando obtener una forma cerrada de la sumatoria, o te interesa más entender la relación recursiva?
4. ¿Deseas evaluar numéricamente cómo se comporta la inflación a lo largo de los periodos usando estos coeficientes?
5. ¿Hay más variables endógenas que quieras incluir en esta ecuación de inflación?

**Tip:** Si el coeficiente $ b4\_inf $ es cercano a 1, el sistema puede volverse inestable, y tal vez convendría verificar las condiciones de estabilidad del modelo.

tengo esta funcion: INF(t) - (b1_inf * 100 * ((PIBNM(t)/YPOT(t)) - 1) +  b2_inf * INF(t-1) + b3_inf * (datos$lnTCR(t-1) - log(100)) * 100 + b4_inf * INF(t+1)) Aqui vemos que INF en el periodo t depende entre otras cosas de INF(t+1), es decir del siguiente periodo y el siguiente por tanto del subsiguiente, hay alguna manera de reecribir esta ecuacion como una sumatoria? y despues aplicar sumatoria geometrica, me entiendes?

Explore how to rewrite a time series equation where inflation depends on future periods, expressed as a summation. This dynamic system includes geometric series and recursion, making it suitable for advanced undergraduate students in economics or applied mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation