https://r2.erweima.ai/mathbot/image/17260658216142fbsflyw.jpg

Voi rezolva pe rând fiecare exercițiu prezent în imagine.

### Exercițiul 1
\[
4 \cdot \log_7(3 - \sqrt{2}) + \log_7(3 + \sqrt{2})
\]
Folosim proprietățile logaritmilor:
\[
\log_b(x) + \log_b(y) = \log_b(x \cdot y)
\]
Deci:
\[
4 \cdot \log_7(3 - \sqrt{2}) + \log_7(3 + \sqrt{2}) = \log_7((3 - \sqrt{2})^4) + \log_7(3 + \sqrt{2})
\]
\[
= \log_7((3 - \sqrt{2})^4 \cdot (3 + \sqrt{2}))
\]
Calculăm separat:
\[
(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7
\]
\[
= \log_7((3 - \sqrt{2})^4 \cdot 7) = \log_7(7 \cdot (3 - \sqrt{2})^4)
\]
Observăm că \(\log_7(7) = 1\), deci răspunsul este \(\log_7((3 - \sqrt{2})^4) + 1\).

### Exercițiul 2
Determinați coordonatele mijlocului segmentului \( AB \), unde \( A \) și \( B \) sunt punctele de intersecție ale graficului funcției \( f(x) = x^2 - 2x - 8 \) cu axa \( Ox \). Punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox sunt soluțiile ecuației \( f(x) = 0 \), adică:
\[
x^2 - 2x - 8 = 0
\]
Folosim formula radicalilor:
\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}
\]
Soluțiile sunt:
\[
x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \quad \text{și} \quad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2
\]
Deci punctele \( A(4, 0) \) și \( B(-2, 0) \). Coordonatele mijlocului segmentului \( AB \) sunt:
\[
M = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (1, 0)
\]

### Exercițiul 3
Calculați diferența soluțiilor reale ale ecuației:
\[
\log_2(x^2 - 3x + 5) = \log_2(x + 1)
\]
Pentru a elimina logaritmii, aplicăm faptul că \( \log_b(a) = \log_b(c) \implies a = c \). Astfel, ecuația devine:
\[
x^2 - 3x + 5 = x + 1
\]
Mutăm toate termenii în partea stângă:
\[
x^2 - 3x - x + 5 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x + 4 = 0
\]
Aceasta este o ecuație de forma \( (x - 2)^2 = 0 \), deci soluția este \( x = 2 \). Diferența soluțiilor este 0, deoarece există o singură soluție reală.

### Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 13.

Numerele naturale de două cifre sunt de la 10 la 99. Trebuie să aflăm câte dintre acestea sunt divizibile cu 13. Împărțim:
\[
\frac{99}{13} \approx 7.61 \quad \text{și} \quad \frac{10}{13} \approx 0.77
\]
Deci numerele sunt: \( 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91 \) (7 numere). Există în total 90 de numere naturale de două cifre. Probabilitatea este:
\[
P = \frac{7}{90}
\]

### Exercițiul 5
Calculați \( E = \sin(\pi - x) \cdot \sin x - \cos(\pi - x) \cdot \cos x \).

Folosim identitățile trigonometrice:
\[
\sin(\pi - x) = \sin x \quad \text{și} \quad \cos(\pi - x) = -\cos x
\]
Astfel:
\[
E = \sin x \cdot \sin x - (-\cos x) \cdot \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x = 1
\]

### Exercițiul 6
Avem punctele \( A(-2, 0) \), \( B(2, 0) \), și \( C(2, 4) \). Trebuie să determinăm ecuația dreptei care trece prin punctul \( B \) și este paralelă cu mediană \( A \) a triunghiului \( ABC \).

Mediana \( A \) este dreapta care trece prin \( A \) și mijlocul segmentului \( BC \). Calculăm mijlocul segmentului \( BC \):
\[
M_{BC} = \left( \frac{2 + 2}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = (2, 2)
\]
Panta medianei \( A \) este:
\[
m = \frac{2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
Dreapta paralelă cu aceasta care trece prin \( B(2, 0) \) va avea aceeași pantă, deci ecuația este:
\[
y - 0 = \frac{1}{2}(x - 2)
\]
\[
y = \frac{1}{2}x - 1
\]

---

Dacă dorești detalii suplimentare sau clarificări, întreabă fără ezitare!

### Întrebări relative:
1. Cum se pot simplifica ecuațiile logaritmice în funcție de bază?
2. Cum determinăm ecuația unei drepte care trece prin două puncte?
3. Care sunt identitățile trigonometrice de bază utilizate în calcule?
4. Cum se rezolvă ecuațiile de gradul al doilea prin metoda radicalilor?
5. Ce alte metode există pentru calcularea probabilităților?

### Sfat:
În trigonometrie, identitățile precum \(\sin(\pi - x) = \sin x\) și \(\cos(\pi - x) = -\cos x\) sunt foarte utile pentru simplificarea expresiilor.

Rezolvați problemele matematice din imagine.

Solve a variety of high school math problems involving logarithms, geometry, algebra, and trigonometry. These problems cover key mathematical concepts and formulas, including logarithmic properties, midpoint formula, and trigonometric identities. Perfect for students in grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation