点到直线的距离公式怎么推导的？

点到直线的距离公式是指给定一个点 \( P(x_1, y_1) \) 和一条直线的方程 \( Ax + By + C = 0 \)，如何计算点 \( P \) 到这条直线的垂直距离。公式的推导如下：

### 推导步骤：

1. **直线的标准形式：**  
   直线的一般方程可以写作：
   \[
   Ax + By + C = 0
   \]
   其中 \( A \)、\( B \) 和 \( C \) 是常数，\( x \)、\( y \) 是坐标。

2. **直线的法向量：**  
   从直线方程中，可以直接得到直线的法向量为 \( \mathbf{n} = (A, B) \)。这是因为直线 \( Ax + By + C = 0 \) 的梯度 (或法向量) 正是 \( A \) 和 \( B \) 的系数所组成的向量。

3. **点到直线的垂线：**  
   任何过点 \( P(x_1, y_1) \) 的直线到给定直线的垂直距离就是点到直线的最短距离。这意味着我们需要找出过 \( P \) 且垂直于直线 \( Ax + By + C = 0 \) 的线段。

4. **点代入直线方程：**  
   我们可以将点 \( P(x_1, y_1) \) 代入直线方程 \( Ax + By + C = 0 \)，得到：
   \[
   d = |Ax_1 + By_1 + C|
   \]
   这实际上是点 \( P \) 代入直线方程后的代数距离。

5. **法向量的归一化：**  
   为了得到几何距离，我们需要除以直线法向量的模，即 \( \sqrt{A^2 + B^2} \)。这是因为垂直距离需要考虑直线的方向（法向量）和其大小。  
   最终，点 \( P(x_1, y_1) \) 到直线 \( Ax + By + C = 0 \) 的距离公式为：
   \[
   d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
   \]

### 总结：
点 \( P(x_1, y_1) \) 到直线 \( Ax + By + C = 0 \) 的距离公式为：
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

这个公式来源于法向量与代数距离的结合，确保得出的结果是点到直线的最短垂直距离。

---

是否需要进一步详细解释某个步骤？  
可以考虑以下问题来加深理解：

1. 为什么我们需要除以法向量的模？
2. 如果直线是斜截式 \( y = mx + b \)，怎么转化成一般式 \( Ax + By + C = 0 \)？
3. 推导过程中法向量的作用是什么？
4. 代数距离和几何距离有何区别？
5. 如何将该公式应用于三维空间中的点和直线？

**小提示：** 在求解几何问题时，合理地使用向量方法可以简化推导和计算步骤。

Discover how to derive the formula for calculating the distance from a point to a line in analytic geometry. The problem involves using vector norms and the perpendicular distance formula. Suitable for students in Grades 10-12.

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