Efectua les següents divisions i aplica el mètode de Ruffini quan sigui possible.
a) (5x5
– 3x3
+ x2
+2x -3) : (x2
+4x) =

b) (x7
-2x4
+3) : (x+1) =

A continuació resolem les divisions, aplicant el mètode de Ruffini quan sigui possible:

### a) \((5x^5 - 3x^3 + x^2 + 2x - 3) \div (x^2 + 4x)\)

En aquest cas, no podem aplicar directament el mètode de Ruffini perquè el divisor és un polinomi de segon grau, \(x^2 + 4x\), i Ruffini s'aplica només quan el divisor és de la forma \(x - r\).

Per tant, hem de fer la divisió polinòmica clàssica:

1. Dividim el primer terme de \(5x^5\) entre el primer terme de \(x^2\), que ens dóna \(5x^3\).
2. Multipliquem \(5x^3\) pel divisor \(x^2 + 4x\), obtenint \(5x^5 + 20x^4\).
3. Resta: \((5x^5 - 3x^3 + x^2 + 2x - 3) - (5x^5 + 20x^4) = -20x^4 - 3x^3 + x^2 + 2x - 3\).
4. Dividim el primer terme restant, \(-20x^4\), entre \(x^2\), obtenint \(-20x^2\).
5. Multipliquem \(-20x^2\) pel divisor \(x^2 + 4x\), obtenint \(-20x^4 - 80x^3\).
6. Resta: \((-20x^4 - 3x^3 + x^2 + 2x - 3) - (-20x^4 - 80x^3) = 77x^3 + x^2 + 2x - 3\).
7. Continuem dividint fins que arribem a un residu que no es pugui dividir més.

El quocient final serà un polinomi de grau 3, i el residu serà un polinomi de grau inferior a 2.

---

### b) \((x^7 - 2x^4 + 3) \div (x + 1)\)

En aquest cas, sí que podem aplicar el mètode de Ruffini, ja que el divisor és de la forma \(x + 1\), que es pot expressar com \(x - (-1)\).

1. Els coeficients del dividend són: \([1, 0, 0, -2, 0, 0, 0, 3]\), ja que no hi ha termes de \(x^6\), \(x^5\), \(x^3\), \(x^2\), i \(x\).
2. Aplicant el mètode de Ruffini amb \(r = -1\):

   \[
   \begin{array}{r|rrrrrrrr}
   -1 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
     &   & -1 & 1 & -1 & 3 & -3 & 3 & -3 \\
   \hline
     & 1 & -1 & 1 & -3 & 3 & -3 & 3 & 0 \\
   \end{array}
   \]

El quocient és: \(x^6 - x^5 + x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x + 3\), i el residu és 0, així que la divisió és exacta.

---

## Conclusió
- La divisió de l'expressió a) s'ha de fer mitjançant divisió polinòmica.
- La divisió de l'expressió b) es pot fer amb el mètode de Ruffini, resultant en una divisió exacta amb quocient \(x^6 - x^5 + x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x + 3\).

Vols veure algun altre pas amb més detall?

---

### Preguntes relacionades:
1. Quins altres tipus de divisió polinòmica coneixes?
2. Com s'aplica el mètode de Ruffini a divisors de la forma \(x - r\)?
3. Pots resoldre divisions polinòmiques amb restes no zero?
4. Quina és la diferència entre el mètode de Ruffini i la divisió sintètica?
5. En quines situacions el mètode de Ruffini no és aplicable?

**Consell:** El mètode de Ruffini només s'aplica quan el divisor és un binomi lineal, és a dir, de la forma \(x - r\).

Efectua les següents divisions i aplica el mètode de Ruffini quan sigui possible.
a) (5x^5 – 3x^3 + x^2 +2x -3) : (x^2 +4x) =
b) (x^7 -2x^4 +3) : (x+1) =

Master polynomial division and Ruffini's method with these example problems. Learn how to solve (5x^5 – 3x^3 + x^2 + 2x - 3) divided by (x^2 + 4x) using classic polynomial division and apply Ruffini's method to (x^7 - 2x^4 + 3) divided by (x + 1). Ideal for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation