Umapiscina,cujacapacidade ́ede120m3,leva20horaspara ser esvaziada. O volume de  ́agua na piscina, t horas ap ́os o in ́ıcio do processo de esvaziamento,  ́e dado pela func ̧a ̃o v(t) = a(b − t2), para 0 6 t 6 20.
• Calcule as constantes a e b. • Trace o gr ́afico de v(t).

Vamos resolver o problema em duas partes:

### Passo 1: Determinar as constantes \(a\) e \(b\)

A função que descreve o volume de água na piscina após \(t\) horas é:

\[
v(t) = a(b - t^2)
\]

Sabemos que:

1. No início (quando \(t = 0\)), a piscina está completamente cheia, então \(v(0) = 120\) m³.
2. Depois de 20 horas (\(t = 20\)), a piscina estará completamente vazia, então \(v(20) = 0\).

Usando essas informações, vamos substituir os valores de \(t\) na função para determinar \(a\) e \(b\).

#### Quando \(t = 0\):

\[
v(0) = a(b - 0^2) = ab = 120
\]

Isso nos dá a equação:

\[
ab = 120 \quad (1)
\]

#### Quando \(t = 20\):

\[
v(20) = a(b - 20^2) = 0
\]

Simplificando:

\[
a(b - 400) = 0
\]

Como \(a \neq 0\), então:

\[
b - 400 = 0 \implies b = 400
\]

Substituindo o valor de \(b\) na equação (1):

\[
a \cdot 400 = 120 \implies a = \frac{120}{400} = 0.3
\]

Portanto, as constantes são:

\[
a = 0.3, \quad b = 400
\]

### Passo 2: Traçar o gráfico de \(v(t)\)

Agora que temos os valores de \(a\) e \(b\), a função do volume de água é:

\[
v(t) = 0.3(400 - t^2)
\]

Vamos traçar o gráfico dessa função para \(0 \leq t \leq 20\).

Umapiscina,cujacapacidade ́ede120m3,leva20horaspara ser esvaziada. O volume de  ́agua na piscina, t horas ap ́os o in ́ıcio do processo de esvaziamento,  ́e dado pela func ̧a ̃o v(t) = a(b − t^2), para 0 ≤ t ≤ 20. • Calcule as constantes a e b. • Trace o gráfico de v(t).

Explore how to calculate the volume of a pool over time using the quadratic function v(t) = a(b - t^2). This problem involves finding constants a and b, given initial conditions, and plotting the function. Suitable for students in Grades 10-12.

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