Un **tableau de signes** est un outil très utile pour déterminer les variations de signe d'une fonction ou d'une expression algébrique. Il permet de visualiser sur quels intervalles une fonction est positive, négative ou nulle.

Voici comment dresser un tableau de signes pour une fonction ou une expression algébrique :

### Exemple :  
Prenons l'expression suivante :  
\[
f(x) = (x - 2)(x + 3)
\]

#### Étapes pour dresser un tableau de signes :

1. **Identifier les racines** :  
   Résoudre \(f(x) = 0\) pour trouver les points où l'expression est nulle.  
   \[
   (x - 2)(x + 3) = 0
   \]  
   Les solutions sont \(x = 2\) et \(x = -3\).

2. **Analyser le signe de chaque facteur** :  
   Examiner le signe de chaque facteur \((x - 2)\) et \((x + 3)\) en fonction de la valeur de \(x\).

   - Pour \((x - 2)\), ce facteur est :
     - Négatif pour \(x < 2\)
     - Nul pour \(x = 2\)
     - Positif pour \(x > 2\)
   
   - Pour \((x + 3)\), ce facteur est :
     - Négatif pour \(x < -3\)
     - Nul pour \(x = -3\)
     - Positif pour \(x > -3\)

3. **Construire le tableau de signes** :
   En prenant en compte les changements de signe aux racines \(x = -3\) et \(x = 2\), on dresse le tableau suivant :

| \(x\)         | \(-\infty\) < \(x < -3\) | \(x = -3\) | \(-3 < x < 2\) | \(x = 2\) | \(x > 2\)   |
|---------------|-------------------------|------------|----------------|-----------|-------------|
| \(x - 2\)     | -                       | -          | -              | 0         | +           |
| \(x + 3\)     | -                       | 0          | +              | +         | +           |
| \(f(x)\)      | +                       | 0          | -              | 0         | +           |

4. **Conclusion** :
   Le tableau montre que :
   - \(f(x) > 0\) sur les intervalles \(\left]-\infty, -3\right[\) et \(\left]2, +\infty\right[\)
   - \(f(x) = 0\) pour \(x = -3\) et \(x = 2\)
   - \(f(x) < 0\) sur l'intervalle \(\left]-3, 2\right[\)

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### Questions relatives :
1. Comment déterminer les racines d'une fonction quadratique ?
2. Comment analyser le signe de plusieurs facteurs dans un produit ?
3. Comment dresser un tableau de variation pour une fonction dérivable ?
4. Quelles sont les propriétés des polynômes du second degré dans un tableau de signes ?
5. Comment interpréter graphiquement un tableau de signes ?

**Tip** : Lorsque plusieurs facteurs composent une fonction, chacun change de signe à ses propres racines, ce qui rend le tableau de signes essentiel pour comprendre leur combinaison.

Apprenez à dresser un tableau de signes pour une expression algébrique, en analysant les racines et les variations de signe des facteurs. Cet exemple couvre l'expression f(x) = (x - 2)(x + 3) avec des explications détaillées, adapté aux élèves des classes de 10e à 12e.

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