Para cada una de las siguientes funciones:
a) Determinar el dominio de f y hallar los puntos de intersecci ́on de la gr ́afica de f con los ejes
coordenados, si existen.
b) Encontrar la ecuaci ́on c ́onica asociada.
1) f(x) = √
4 − 2x
2) f(x) = 4 + √
8 − x
2 + 2x

3) f(x) = 2x − 1
4) f(x) = x

2 − 6x + 5

Vamos a abordar cada una de las funciones por separado para determinar su dominio, los puntos de intersección con los ejes coordenados, y la ecuación cónica asociada.

### 1. \( f(x) = \sqrt{4 - 2x} \)

**a) Dominio y puntos de intersección:**

- **Dominio:** La expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser no negativa, es decir:
  \[
  4 - 2x \geq 0
  \]
  \[
  2x \leq 4 \implies x \leq 2
  \]
  Entonces, el dominio de \( f(x) \) es \( (-\infty, 2] \).

- **Intersección con los ejes:**
  - Eje \( y \) (cuando \( x = 0 \)):
    \[
    f(0) = \sqrt{4 - 2(0)} = \sqrt{4} = 2
    \]
    Entonces, la intersección con el eje \( y \) es \( (0, 2) \).
  - Eje \( x \) (cuando \( f(x) = 0 \)):
    \[
    \sqrt{4 - 2x} = 0 \implies 4 - 2x = 0 \implies x = 2
    \]
    Entonces, la intersección con el eje \( x \) es \( (2, 0) \).

**b) Ecuación cónica asociada:**

La ecuación cónica asociada es:
\[
f(x)^2 + 2x = 4
\]
Que corresponde a una parábola.

### 2. \( f(x) = 4 + \sqrt{8 - x^2 + 2x} \)

**a) Dominio y puntos de intersección:**

- **Dominio:** La expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser no negativa:
  \[
  8 - x^2 + 2x \geq 0
  \]
  Esta es una ecuación cuadrática que se puede reescribir como:
  \[
  x^2 - 2x - 8 \leq 0
  \]
  Resolviendo la inecuación:
  \[
  (x - 4)(x + 2) \leq 0
  \]
  El dominio es \( x \in [-2, 4] \).

- **Intersección con los ejes:**
  - Eje \( y \) (cuando \( x = 0 \)):
    \[
    f(0) = 4 + \sqrt{8 - 0^2 + 2(0)} = 4 + \sqrt{8} = 4 + 2\sqrt{2}
    \]
    La intersección con el eje \( y \) es \( (0, 4 + 2\sqrt{2}) \).
  - Eje \( x \): No se puede resolver \( f(x) = 0 \) de manera sencilla sin métodos numéricos, por lo que no calcularemos una intersección específica aquí.

**b) Ecuación cónica asociada:**

La ecuación cónica no se puede definir fácilmente sin más simplificación o información.

### 3. \( f(x) = 2x - 1 \)

**a) Dominio y puntos de intersección:**

- **Dominio:** El dominio de una función lineal como esta es todo \( \mathbb{R} \).

- **Intersección con los ejes:**
  - Eje \( y \) (cuando \( x = 0 \)):
    \[
    f(0) = 2(0) - 1 = -1
    \]
    La intersección con el eje \( y \) es \( (0, -1) \).
  - Eje \( x \) (cuando \( f(x) = 0 \)):
    \[
    2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}
    \]
    La intersección con el eje \( x \) es \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \).

**b) Ecuación cónica asociada:**

No hay una ecuación cónica asociada directa porque es una función lineal, no una cuadrática.

### 4. \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \)

**a) Dominio y puntos de intersección:**

- **Dominio:** El dominio de un polinomio cuadrático es todo \( \mathbb{R} \).

- **Intersección con los ejes:**
  - Eje \( y \) (cuando \( x = 0 \)):
    \[
    f(0) = 0^2 - 6(0) + 5 = 5
    \]
    La intersección con el eje \( y \) es \( (0, 5) \).
  - Eje \( x \) (cuando \( f(x) = 0 \)):
    \[
    x^2 - 6x + 5 = 0
    \]
    Factorizando:
    \[
    (x - 5)(x - 1) = 0 \implies x = 1, \, x = 5
    \]
    Las intersecciones con el eje \( x \) son \( (1, 0) \) y \( (5, 0) \).

**b) Ecuación cónica asociada:**

La ecuación cónica asociada es simplemente la ecuación cuadrática de la parábola:
\[
y = x^2 - 6x + 5
\]

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**Tip:** Al analizar el dominio de una función, siempre revisa las raíces, denominadores y logaritmos para evitar valores que hagan la función indefinida o compleja.

Para cada una de las siguientes funciones: a) Determinar el dominio de f y hallar los puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados, si existen. b) Encontrar la ecuación cónica asociada. 1) f(x) = √4 − 2x 2) f(x) = 4 + √8 − x^2 + 2x 3) f(x) = 2x − 1 4) f(x) = x^2 − 6x + 5

Learn how to find the domain and intersection points of various functions, including square root and quadratic functions, and how to associate these with conic section equations. This problem covers algebraic concepts suitable for high school students in Grades 9-12.

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